MetaMath '22

\textbf{Primjer 1:} Skup prostih brojeva je beskonačan.\\\\ \textbf{Rješenje:} Kako bi dokazali tvrdnju, često je korisno pretpostaviti suprotno i pokazati da u tom slučaju dolazimo do kontradikcije.\\\\ Pretpostavimo da su $p_1, p_2, \dots, p_k$ svi prosti brojevi. Promotrimo broj $$n = p_1p_2\dots p_k+1.$$ Uočimo da $n$ nije djeljiv s $p_1$ (jer $p_1$ dijeli $p_1p_2\dots p_k$, a ne dijeli 1), isto tako pokažemo da nije djeljiv ni s $p_2, p_3, \dots, p_k$. Dakle, svaki prosti djelitelj od $n$ je različit od $p_1p_2\dots p_k$. Znamo da je $n$ produkt prostih brojeva, pa postoji $p$ koji dijeli $n$. Tako smo dobili novi prost broj pa je početna pretpostavka kriva i prostih brojeva ne postoji konačno, već beskonačno.\\\\ Za rješenje upišite $1$.