MetaMath '22

U raznostraničnom trokutu $ABC$ simetrala kuta $\angle BAC$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Neka je $M$ točka stranici $\overline{AB}$ takva da je $|BM|=|BD|$, a $N$ točka na produžetku stranice $\overline{AC}$, preko vrha $C$, takva da je $|CN|=|CD|$. Dokaži da su kutovi $\angle DMA$ i $\angle NDA$ sukladni. \\\\ \textit{Rješenje.} \\\\ \includegraphics[scale=0.7]{Primjer1.PNG} \\\\ Trokut $DMB$ je jednakokračan pa je $\angle BMD=90^{\circ}-\dfrac{\angle ABC}{2}$. Kako je $\angle DMA$ vanjski kut trokuta $DMB$, vrijedi $$ \angle DMA=180^\circ - \angle DMB=180^\circ-\left( 90^{\circ}-\dfrac{\angle ABC}{2}\right)=90^{\circ}+\dfrac{\angle ABC}{2}. $$ Budući da je trokut $DNC$ jednakokračan, slijedi da je $\angle AND=\dfrac{\angle BCA}{2}$. \\\\ Promatrajmo sada trokut $NAD$. Za kut $\angle NDA$ vrijedi \begin{align*} \angle NDA &= 180^\circ - \angle DAN - \angle AND \\ &=180^{\circ}-\dfrac{\angle BAC}{2}-\dfrac{\angle BCA}{2} \\ &=180^{\circ}-\dfrac{\angle BAC+\angle BCA}{2} \\ &=180^{\circ}-\dfrac{180^\circ-\angle ABC}{2} \\ &=90^{\circ}+\dfrac{\angle ABC}{2} \end{align*} Dakle, $\angle DMA=\angle NDA=90^{\circ}+\dfrac{\angle ABC}{2}$. Kao rješenje upišite zbroj veličina unutarnjih kutova trokuta.