MetaMath '22

Nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ s vanjske su strane nacrtani kvadrati $ACMN$ i $CBED$. Dokažite da je $|AD|=|BM|$ i $AD\perp BM$. \\\\ \textit{Rješenje.} \\\\ \includegraphics[scale=0.4]{Primjer2.PNG} \\\\ Vrijedi $|AC|=|CM|$ i $|CD|=|BC|$. Osim toga, $\angle ACD=\angle ACB+\angle BCD$ i $\angle BCM=\angle ACB+\angle ACM$ pa zbog $\angle BCD=\angle ACM=90^\circ$ slijedi da je $\angle ACD=\angle ACB+90^\circ=\angle BCM$. Prema teoremu o sukladnosti trokuta SKS vrijedi $\triangle ADC \cong \triangle MCB$. Stoga je i $|AD|=|BM|$. \\\\ Neka je točka $S$ presjek pravaca $AD$ i $BM$, a točka $R$ presjek pravaca $AD$ i stranice $\overline{BC}$ trokuta $ABC$. Okomitost ćemo dokazati tako da promatramo kutove trokuta $BSR$ i $DCR$. Ako su to kutovi s okomitim pravca, tvrdnja je dokazana. \\\\ Zbog dokazane sukladnosti vrijedi $\angle ADC=\angle RDC=\angle MBC=\angle SBR$, a posebno promatramo $\angle RDC=\angle SBR$. Vrijedi i $\angle BRS=\angle DRC$ jer su to vršni kutovi. Zaključujemo da trokuti $BSR$ i $DCR$ imaju dva para sukladnih kutova pa mora i treći par kutova biti sukladan. Zato je $\angle BSR=\angle DCR=\angle DCB=90^\circ$, iz čega slijedi $AD\perp BM$. Kao rješenje upišite veličinu kuta kvadrata.