MetaMath '22

U trokutu $ABC$ poznate su duljine dviju stranica, $|AB|=9\text{ dm}$, $|BC|=6\text{ dm}$ i veličina kuta između njih $\angle ABC=120^\circ$. Simetrala kuta $\angle ABC$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$. Odredite $|BD|$. \\\\ \textit{Rješenje.} \\\\ \includegraphics[scale=0.6]{Primjer3.PNG} \\\\ Simetrala kuta $\angle ABC$ dijeli kut na dva sukladna kuta veličine $60^\circ$. Kada god imamo kutove te veličine, cilj je naći neki jednakostranični trokut. \\\\ Produljimo stranicu $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ preko točke $B$. Točkom $A$ nacrtajmo pravac paralelan sa simetralom kuta $\angle ABC$. Sjecište tog pravca i pravca $BC$ označimo sa $E$. \\\\ Kutovi $\angle BEA$ i $\angle CBD$ imaju paralelne krakove pa je $\angle BEA=\angle CBD=60^\circ$. Također $\angle ABE=60^\circ$ jer je to vanjski kut kuta $\angle CBA$. Dakle, i treći kut u tom trokutu $\angle EAB$ mora imati veličinu $60^\circ$. Dakle, trokut $EAB$ je jednakostraničan s duljinama stranica $9 \text{ cm}$. \\\\ Trokut $AEC$ je sličan trokutu $DBC$ zbog KK teorema o sličnosti trokuta gdje je $\angle ACE$ zajednički kut oba trokuta, a $\angle BEA=\angle CBD=60^\circ$. Imamo: \begin{align*} |BC|:|EC|&=|BD|:|EA| \\ 6:(6+9)&=|BD|:9 \\ 15\cdot |BD|&= 54 \\ |BD|&=3.6\text{ dm} \end{align*} Kao rješenje upišite veličinu kuta jednakostraničnog trokuta.