MetaMath '22

\textbf{Primjer 1.} Neka su $O$ i $H$ središte opisane kružnice te ortocentar $\triangle ABC$ redom. Dokažite da $\angle ACH = \angle BCO$. \includegraphics{lema1.png} \textbf{Rješenje:} Neka je $\angle BAC = \alpha$. Tada $\angle ACH = 90^\circ - \alpha$ (iz pravokutnog trokuta sa vrhovima $A, C$ i nožište visine iz vrha $C$). Budući da je $O$ središte opisane kružnice $\triangle ABC$, primjenom teorema o obodnom i središnjem kutu dobivamo $\angle BOC = 2\angle BAC = 2\alpha$. Također, $\triangle BOC$ je jednakokračan budući da je $|OB|=|OC|$ (polumjer opisane kružnice) te je tako $\angle BCO = \frac{180^\circ-2\alpha}{2} = 90^\circ - \alpha$, čime smo dokazali tvrdnju zadatka. Za rješenje upiši broj pojavljivanja znaka jednakosti u ovom riješenom primjeru.