MetaMath '22

\textbf{Primjer 2:} Neka su $N_A$, $N_B$ i $N_C$ nožišta visina trokuta $\triangle ABC$. Dokaži da je ortocentar trokuta $\triangle ABC$ središte upisane kružnice $\triangle N_A N_B N_C$. \includegraphics{primjer2.png} \textbf{Rješenje:} Neka je $H$ ortocentar trokuta $\triangle ABC$ te standardno $\angle CAB = \alpha, \angle ABC = \beta, \angle BCA = \gamma$. Budući da su $N_A$, $N_B$ i $N_C$ nožišta, slijedi da su $\angle HN_AB = \angle HN_CB = 90^\circ$ što znači da je četverokut $BN_AHN_C$ tetivan jer je zbroj nasuprotna dva kuta $180^\circ$. Iz tetivnosti sljedeći obodni kutevi su jednaki $\angle N_CN_AH = \angle N_CBH = \angle ABN_B = 90^\circ - \alpha$. Slično, četverokut $CN_BHN_A$ je tetivan te $\angle N_BN_AH = 90^\circ - \alpha$, što znači da je $N_AA$ simetrala kuta $\angle N_CN_AN_B$. Analogno možemo dobiti da je $N_B B$ simetrala kuta $\angle N_A N_B N_C$ te $N_C C$ simetrala kuta $\angle N_B N_C N_A$, što dokazuje da je $H$ središte upisane kružnice trokuta $\triangle N_A N_B N_C$. Za rješenje upišite $0$.