MetaMath '22 - Školjka

Vrijeme: 11:09

KTT - primjer 3

Primjer 3: Dan je $\triangle ABC$ . Neka su $I_A, I_B, I_C$ središta pripisanih kružnica nasuprot redom točaka $A, B, C$ . Neka su dirališta pripisanih kružnica sa stranicama trokuta $D_A, D_B, D_C$ , ponovno redom nasuprot odgovarajućih vrhova. Dokažite da se $I_AD_A, I_BD_B, I_CD_C$ sijeku u jednoj točki (tj. da su konkurentni).

$Attachment bevan.png$

Rješenje:

Označimo standardno kuteve uz vrhove $A, B, C$ sa $\alpha, \beta, \gamma$ redom.

Lako je izračunati kuteve u trokutu $\triangle I_AI_BI_C$ : budući da su $BI_C$ te $AI_C$ vanjske simetrale kuteva $\angle ABC$ te $\angle BAC$ redom, $\angle BAI_C = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ te $\angle ABI_C = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$ , pa slijedi da je $\angle AI_CB = 90^\circ-\gamma$ .

Analogno možemo dobiti $\angle AI_BC = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$ i $\angle BI_AC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ .

Presjecimo $I_AD_A$ i $I_BD_B$ , neka je to točka $X$ . Želimo dokazati da se $X$ nalazi na pravcu $I_CD_C$ .

Kako su $D_A$ i $D_B$ dirališta, kutevi $\angle I_AD_AC$ i $\angle I_BD_BC$ su pravi. Sada lako dobivamo $\angle XI_AC=\angle XI_BC = \frac{\gamma}{2}$ , što znači da se $X$ nalazi na simetrali $\overline{I_AI_B}$ .

S druge strane, kako je $\angle I_CAI_A = 90^\circ \implies \angle I_CI_AA = \frac{\gamma}{2}$ , pa iz leme ( $\angle I_BI_AX = \angle I_CI_AA$ , zadatak xy.) slijedi da se središte opisane kružnice $\triangle I_AI_BI_C$ nalazi na $I_AX$ . Slično, dobivamo da se to isto središte nalazi i na pravcu $I_BX$ , iz čega zaključujemo da je $X$ središte opisane kružnice trokuta $\triangle I_AI_BI_C$ .

Sada možemo ponovno iskoristiti lemu kako bi dobili $\angle XI_CI_A = \angle CI_CI_B = \frac{\beta}{2}$ , a sličnim računom kao sa početka možemo dobiti i $\angle BI_CD_C = \frac{\beta}{2}$ , što dokazuje tvrdnju zadatka pošto se $I_C, D_C$ i $X$ nalaze na istom pravcu.

Ova točka se inače zove Bevanova točka $\triangle ABC$ .

Za rješenje upišite koji je ovo broj primjera.

\textbf{Primjer 3:} Dan je $\triangle ABC$. Neka su $I_A, I_B, I_C$ središta pripisanih kružnica nasuprot redom točaka $A, B, C$. Neka su dirališta pripisanih kružnica sa stranicama trokuta $D_A, D_B, D_C$, ponovno redom nasuprot odgovarajućih vrhova. Dokažite da se $I_AD_A, I_BD_B, I_CD_C$ sijeku u jednoj točki (tj. da su konkurentni). \includegraphics{bevan.png} \textbf{Rješenje:} Označimo standardno kuteve uz vrhove $A, B, C$ sa $\alpha, \beta, \gamma$ redom. Lako je izračunati kuteve u trokutu $\triangle I_AI_BI_C$: budući da su $BI_C$ te $AI_C$ vanjske simetrale kuteva $\angle ABC$ te $\angle BAC$ redom, $\angle BAI_C = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ te $\angle ABI_C = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$, pa slijedi da je $\angle AI_CB = 90^\circ-\gamma$. Analogno možemo dobiti $\angle AI_BC = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$ i $\angle BI_AC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Presjecimo $I_AD_A$ i $I_BD_B$, neka je to točka $X$. Želimo dokazati da se $X$ nalazi na pravcu $I_CD_C$. Kako su $D_A$ i $D_B$ dirališta, kutevi $\angle I_AD_AC$ i $\angle I_BD_BC$ su pravi. Sada lako dobivamo $\angle XI_AC=\angle XI_BC = \frac{\gamma}{2}$, što znači da se $X$ nalazi na simetrali $\overline{I_AI_B}$. S druge strane, kako je $\angle I_CAI_A = 90^\circ \implies \angle I_CI_AA = \frac{\gamma}{2}$, pa iz leme ($\angle I_BI_AX = \angle I_CI_AA$, zadatak xy.) slijedi da se središte opisane kružnice $\triangle I_AI_BI_C$ nalazi na $I_AX$. Slično, dobivamo da se to isto središte nalazi i na pravcu $I_BX$, iz čega zaključujemo da je $X$ središte opisane kružnice trokuta $\triangle I_AI_BI_C$. Sada možemo ponovno iskoristiti lemu kako bi dobili $\angle XI_CI_A = \angle CI_CI_B = \frac{\beta}{2}$, a sličnim računom kao sa početka možemo dobiti i $\angle BI_CD_C = \frac{\beta}{2}$, što dokazuje tvrdnju zadatka pošto se $I_C, D_C$ i $X$ nalaze na istom pravcu. Ova točka se inače zove Bevanova točka $\triangle ABC$. Za rješenje upišite koji je ovo broj primjera.