Vrijeme: 17:23

KTT - primjer 3

Primjer 3: Dan je \triangle ABC. Neka su I_A, I_B, I_C središta pripisanih kružnica nasuprot redom točaka A, B, C. Neka su dirališta pripisanih kružnica sa stranicama trokuta D_A, D_B, D_C, ponovno redom nasuprot odgovarajućih vrhova. Dokažite da se I_AD_A, I_BD_B, I_CD_C sijeku u jednoj točki (tj. da su konkurentni).

Attachment bevan.png

Rješenje:

Označimo standardno kuteve uz vrhove A, B, C sa \alpha, \beta, \gamma redom.

Lako je izračunati kuteve u trokutu \triangle I_AI_BI_C: budući da su BI_C te AI_C vanjske simetrale kuteva \angle ABC te \angle BAC redom, \angle BAI_C = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} te \angle ABI_C = 90^\circ - \frac{\beta}{2}, pa slijedi da je \angle AI_CB = 90^\circ-\gamma.

Analogno možemo dobiti \angle AI_BC = 90^\circ - \frac{\beta}{2} i \angle BI_AC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}.

Presjecimo I_AD_A i I_BD_B, neka je to točka X. Želimo dokazati da se X nalazi na pravcu I_CD_C.

Kako su D_A i D_B dirališta, kutevi \angle I_AD_AC i \angle I_BD_BC su pravi. Sada lako dobivamo \angle XI_AC=\angle XI_BC = \frac{\gamma}{2}, što znači da se X nalazi na simetrali \overline{I_AI_B}.

S druge strane, kako je \angle I_CAI_A = 90^\circ \implies \angle I_CI_AA = \frac{\gamma}{2}, pa iz leme (\angle I_BI_AX = \angle I_CI_AA, zadatak xy.) slijedi da se središte opisane kružnice \triangle I_AI_BI_C nalazi na I_AX. Slično, dobivamo da se to isto središte nalazi i na pravcu I_BX, iz čega zaključujemo da je X središte opisane kružnice trokuta \triangle I_AI_BI_C.

Sada možemo ponovno iskoristiti lemu kako bi dobili \angle XI_CI_A = \angle CI_CI_B = \frac{\beta}{2}, a sličnim računom kao sa početka možemo dobiti i \angle BI_CD_C = \frac{\beta}{2}, što dokazuje tvrdnju zadatka pošto se I_C, D_C i X nalaze na istom pravcu.

Ova točka se inače zove Bevanova točka \triangle ABC.

Za rješenje upišite koji je ovo broj primjera.