Vrijeme: 17:28

Princip ekstrema - Primjer 3

Zadatak: Pronađite sve prirodne brojeve x,y,z i w koji zadovoljavaju jednadžbu x^2+y^2 = 3(z^2+w^2)


Rješenje:
Nakon što igrajući se i uvrštavajući razne vrijednosti ne uspijemo naći x,y,z,w\in\mathbb{N} koji zadovoljavaju jednadžbu, naslutimo da rješenja nema. I ovaj zadatak rješavamo metodom kontradikcije - pretpostavimo da jednadžba ima barem jedno rješenje.

1. korak: Od svih rješenja, promotrimo one x,y,z i w za koje je izraz x^2+y^2+z^2+w^2 najmanji.

2. korak: Kako je desna strana jednadžbe djeljiva s 3, mora biti i lijeva. Dakle, izraz x^2 + y^2 je djeljiv sa 3. Što to govori o x i y?

Koliki uopće može biti ostatak pri dijeljenju potpunog kvadrata s tri? Prisjetimo li se 2. tjedna Metamath tečaja, nije teško zaključiti da je odgovor 0 ili 1.
Naime, prirodni broj a može davati ostatak 0, 1 ili 2 pri dijeljenju s 3:
- Ako a daje ostatak 0, a^2 daje ostatak 0\cdot 0 = 0.
- Ako a daje ostatak 1, a^2 daje ostatak 1\cdot 1 = 1.
- Ako a daje ostatak 2, a^2 daje isti ostatak kao i 2\cdot 2 = 4 pri dijeljenju sa 3, dakle daje ostatak 1.

Vidimo da x^2 i y^2 daju ostatke 0 i 1 pri dijeljenju sa 3. Opet promatramo slučajeve:
- Ako x^2 i y^2 daju ostatak 0 pri dijeljenju sa 3, x^2+y^2 daje ostatak 0 + 0 = 0.
- Ako x^2 daje ostatak 1, a y^2 ostatak 0 pri dijeljenju sa 3 ili obratno, x^2+y^2 daje ostatak 1+0=0+1 = 1.
- Ako x^2 i y^2 daju ostatak 1 pri dijeljenju sa 3, x^2+y^2 daje ostatak 1 + 1 = 2.

Dakle, x^2 + y^2 može biti djeljivo s 3 samo onda kad su i x^2 i y^2 djeljivi s 3, a to se može dogoditi samo kad su x i y djeljivi s 3.

Ukoliko su vam ovakvi zaključci još uvijek pomalo strani, više zadataka za vježbu možete pronaći u MNM predavanjima Djeljivosti i Kongruencije.

Sada znamo da postoje x_0,y_0 \in \mathbb{N} takvi da x = 3x_0 i y = 3y_0, pa jednadžba postaje (3x_0)^2+(3y_0)^2 = 3(z^2+w^2)
3. korak: Sređivanjem gornjeg izraza dobijemo jednadžbu 3(x_0^2+y_0^2) = z^2+w^2 koju možemo napisati i kao z^2+w^2 = 3(x_0^2+y_0^2) Primijetimo da to znači da su brojevi z, w, x_0 i y_0 rješenja početne jednadžbe. Kako su x_0 i y_0 trećine od x i y redom, znamo da vrijedi x_0<x i y_0<y. Stoga z^2+w^2+x_0^2+y_0^2 < x^2+y^2+z^2+w^2 pa x,y,z i w ne mogu biti takvi da je x^2+y^2+z^2+w^2 najmanji - došli smo do kontradikcije.

Kao rješenje upišite N.