MetaMath '22 - Školjka

Vrijeme: 02:05

Princip ekstrema - Primjer 3

Zadatak: Pronađite sve prirodne brojeve $x,y,z$ i $w$ koji zadovoljavaju jednadžbu $x^2+y^2 = 3(z^2+w^2)$

Rješenje:
Nakon što igrajući se i uvrštavajući razne vrijednosti ne uspijemo naći $x,y,z,w\in\mathbb{N}$ koji zadovoljavaju jednadžbu, naslutimo da rješenja nema. I ovaj zadatak rješavamo metodom kontradikcije - pretpostavimo da jednadžba ima barem jedno rješenje.

1. korak: Od svih rješenja, promotrimo one $x,y,z$ i $w$ za koje je izraz $x^2+y^2+z^2+w^2$ najmanji.

2. korak: Kako je desna strana jednadžbe djeljiva s $3$ , mora biti i lijeva. Dakle, izraz $x^2 + y^2$ je djeljiv sa $3$ . Što to govori o $x$ i $y$ ?

Koliki uopće može biti ostatak pri dijeljenju potpunog kvadrata s tri? Prisjetimo li se 2. tjedna Metamath tečaja, nije teško zaključiti da je odgovor $0$ ili $1$ .
Naime, prirodni broj $a$ može davati ostatak $0$ , $1$ ili $2$ pri dijeljenju s $3$ :
- Ako $a$ daje ostatak $0$ , $a^2$ daje ostatak $0\cdot 0 = 0$ .
- Ako $a$ daje ostatak $1$ , $a^2$ daje ostatak $1\cdot 1 = 1$ .
- Ako $a$ daje ostatak $2$ , $a^2$ daje isti ostatak kao i $2\cdot 2 = 4$ pri dijeljenju sa $3$ , dakle daje ostatak $1$ .

Vidimo da $x^2$ i $y^2$ daju ostatke $0$ i $1$ pri dijeljenju sa $3$ . Opet promatramo slučajeve:
- Ako $x^2$ i $y^2$ daju ostatak $0$ pri dijeljenju sa $3$ , $x^2+y^2$ daje ostatak $0 + 0 = 0$ .
- Ako $x^2$ daje ostatak $1$ , a $y^2$ ostatak $0$ pri dijeljenju sa $3$ ili obratno, $x^2+y^2$ daje ostatak $1+0=0+1 = 1$ .
- Ako $x^2$ i $y^2$ daju ostatak $1$ pri dijeljenju sa $3$ , $x^2+y^2$ daje ostatak $1 + 1 = 2$ .

Dakle, $x^2 + y^2$ može biti djeljivo s $3$ samo onda kad su i $x^2$ i $y^2$ djeljivi s $3$ , a to se može dogoditi samo kad su $x$ i $y$ djeljivi s $3$ .

Ukoliko su vam ovakvi zaključci još uvijek pomalo strani, više zadataka za vježbu možete pronaći u MNM predavanjima Djeljivosti i Kongruencije.

Sada znamo da postoje $x_0,y_0 \in \mathbb{N}$ takvi da $x = 3x_0$ i $y = 3y_0$ , pa jednadžba postaje $(3x_0)^2+(3y_0)^2 = 3(z^2+w^2)$
3. korak: Sređivanjem gornjeg izraza dobijemo jednadžbu $3(x_0^2+y_0^2) = z^2+w^2$ koju možemo napisati i kao $z^2+w^2 = 3(x_0^2+y_0^2)$ Primijetimo da to znači da su brojevi $z$ , $w$ , $x_0$ i $y_0$ rješenja početne jednadžbe. Kako su $x_0$ i $y_0$ trećine od $x$ i $y$ redom, znamo da vrijedi $x_0<x$ i $y_0<y$ . Stoga $z^2+w^2+x_0^2+y_0^2 < x^2+y^2+z^2+w^2$ pa $x,y,z$ i $w$ ne mogu biti takvi da je $x^2+y^2+z^2+w^2$ najmanji - došli smo do kontradikcije.

Kao rješenje upišite N.

\textbf{Zadatak:} Pronađite sve prirodne brojeve $x,y,z$ i $w$ koji zadovoljavaju jednadžbu $$x^2+y^2 = 3(z^2+w^2)$$ \\\textbf{Rješenje:} \\ Nakon što igrajući se i uvrštavajući razne vrijednosti ne uspijemo naći $x,y,z,w\in\mathbb{N}$ koji zadovoljavaju jednadžbu, naslutimo da rješenja nema. I ovaj zadatak rješavamo \href{http://mnm.hr/wp-content/uploads/2015/10/sto_je_dokaz.pdf}{metodom kontradikcije} - pretpostavimo da jednadžba ima barem jedno rješenje. \textbf{1. korak: } Od svih rješenja, promotrimo one $x,y,z$ i $w$ za koje je izraz $x^2+y^2+z^2+w^2$ najmanji. \\\\\textbf{2. korak: } Kako je desna strana jednadžbe djeljiva s $3$, mora biti i lijeva. Dakle, izraz $x^2 + y^2$ je djeljiv sa $3$. Što to govori o $x$ i $y$? \\ Koliki uopće može biti ostatak pri dijeljenju potpunog kvadrata s tri? Prisjetimo li se 2. tjedna Metamath tečaja, nije teško zaključiti da je odgovor $0$ ili $1$. \\Naime, prirodni broj $a$ može davati ostatak $0$, $1$ ili $2$ pri dijeljenju s $3$: \\ - Ako $a$ daje ostatak $0$, $a^2$ daje ostatak $0\cdot 0 = 0$. \\- Ako $a$ daje ostatak $1$, $a^2$ daje ostatak $1\cdot 1 = 1$. \\- Ako $a$ daje ostatak $2$, $a^2$ daje isti ostatak kao i $2\cdot 2 = 4$ pri dijeljenju sa $3$, dakle daje ostatak $1$. Vidimo da $x^2$ i $y^2$ daju ostatke $0$ i $1$ pri dijeljenju sa $3$. Opet promatramo slučajeve:\\ - Ako $x^2$ i $y^2$ daju ostatak $0$ pri dijeljenju sa $3$, $x^2+y^2$ daje ostatak $0 + 0 = 0$. \\- Ako $x^2$ daje ostatak $1$, a $y^2$ ostatak $0$ pri dijeljenju sa $3$ ili obratno, $x^2+y^2$ daje ostatak $1+0=0+1 = 1$. \\- Ako $x^2$ i $y^2$ daju ostatak $1$ pri dijeljenju sa $3$, $x^2+y^2$ daje ostatak $1 + 1 = 2$. Dakle, $x^2 + y^2$ može biti djeljivo s $3$ samo onda kad su i $x^2$ i $y^2$ djeljivi s $3$, a to se može dogoditi samo kad su $x$ i $y$ djeljivi s $3$. \\\\Ukoliko su vam ovakvi zaključci još uvijek pomalo strani, više zadataka za vježbu možete pronaći u MNM predavanjima \href{https://mnm.hr/wp-content/uploads/2015/10/djeljivosti.pdf}{Djeljivosti} i \href{https://mnm.hr/wp-content/uploads/2015/10/kongruencije.pdf}{Kongruencije}. Sada znamo da postoje $x_0,y_0 \in \mathbb{N}$ takvi da $x = 3x_0$ i $y = 3y_0$, pa jednadžba postaje $$(3x_0)^2+(3y_0)^2 = 3(z^2+w^2)$$ \\\textbf{3. korak: } Sređivanjem gornjeg izraza dobijemo jednadžbu $$3(x_0^2+y_0^2) = z^2+w^2$$ koju možemo napisati i kao $$z^2+w^2 = 3(x_0^2+y_0^2) $$ Primijetimo da to znači da su brojevi $z$, $w$, $x_0$ i $y_0$ rješenja početne jednadžbe. Kako su $x_0$ i $y_0$ trećine od $x$ i $y$ redom, znamo da vrijedi $x_0<x$ i $y_0<y$. Stoga $$z^2+w^2+x_0^2+y_0^2 < x^2+y^2+z^2+w^2$$ pa $x,y,z$ i $w$ ne mogu biti takvi da je $x^2+y^2+z^2+w^2$ najmanji - došli smo do kontradikcije. \\\\ Kao rješenje upišite N.