MetaMath '22

\textbf{Zadatak:} Rješite sustav u skupu $\mathbb{R}$: $$(y+z)^3 = x$$ $$ (z+x)^3=y$$ $$(x+y)^3 = z $$ \\\textbf{Rješenje:} \\ Ključno je primijetiti da je zadani sustav \textbf{simetričan}, to jest da međusobnom zamjenom imena varijabli dobijamo iste jednadžbe. \\ \begin{center} \includegraphics{Zad31.png} \end{center} \\ Drugim riječima, kako god uvrstimo varijable $x,y,z$ kao boje crvena, žuta i zelena, dobijemo isti sustav. Ukoliko se prvi put susrećete s ovim pojmom, to zaista i napravite! Zbog simetričnosti sustava bez smanjenja općenitosti smijemo pretpostaviti da je $x$ \textbf{najveći} od ta $3$ realna broja. Tada $x\geqslant y$, stoga raspisujemo $$ \begin{aligned} x&\geqslant y\\ (y+z)^3&\geqslant (z+x)^3 \quad \quad \quad\text{ Zašto smijemo uzeti treći korijen obje strane? } \\ y+z&\geqslant z+x \\ y &\geqslant x \end{aligned} $$ Dakle vrijedi $x \geqslant y$ i $y \geqslant x$, stoga $x = y$. Potpuno \href{http://mis.element.hr/fajli/507/03-02.pdf}{analogno} dobijemo i $x=z$, stoga mora biti $x = y = z$. Uvrštavanjem $x = y = z$ jednadžba postaje $$ \begin{aligned} (x+x)^3 &= x\\ (2x)^3 &= x\\ 8x^3 &= x\\ 8x^3-x &= 0 \\ x(8x^2-1) &= 0 \quad \quad \quad \text{ Primijetimo razliku kvadrata} \\ x(2\sqrt2x-1)(2\sqrt2x+1) &= 0 \end{aligned} $$ \\ Sada lako očitamo rješenja: $(0,0,0)$, $\left(\frac1{2\sqrt2},\frac1{2\sqrt2},\frac1{2\sqrt2}\right)$ i $\left(-\frac1{2\sqrt2},-\frac1{2\sqrt2},-\frac1{2\sqrt2}\right)$. \\\\ Kao rješenje upišite A.