MetaMath '22

\textbf{Zadatak} Neka je $(a_n)$ niz pozitivnih cijelih brojeva takav da vrijedi $$a_1< a_2\quad\text{i}\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n},\quad n\geq 1.$$ Ako je $a_7=120$, koliko je $a_8$? \textbf{Rješenje} Korištenjem rekurzivne relacije dobivamo da je $$\begin{aligned} 120&=a_7\\ &=a_6+a_5=2a_5+a_4=3a_4+2a_3=5a_3+3a_2=8a_2+5a_1. \end{aligned}$$ Slijedi da je $$\begin{aligned} a_2&=\frac{120-5a_1}{8}\\ &=15-\frac{5}{8}a_1. \end{aligned}$$ Iz ovog zaključujemo da je $a_2$ cijeli broj samo ako i samo ako je $a_1$ oblika $8k,\;k\in\mathbb{N}$. Za $k=1$ dobivamo $a_1=8$ i $a_2=15-5=10$. Za $k=2$ dobivamo $a_1=16$ i $a_2=15-10=5$. Budući da nam je u zadatku zadano da je $a_2>a_1$ drugo rješenje odbacujemo. Za $k\geq 3$ je $a_2\leq 0$ pa zaključujemo da je jedino rješenje $a_1=8$ i $a_2=10$. Sada dobivamo $$\begin{aligned} a_3&=a_2+a_1=10+8=18\\ a_4&=a_3+a_2=18+10=28\\ a_5&=a_4+a_3=28+18=46\\ a_6&=a_5+a_4=28+46=74\\ a_8&=a_7+a_6=120+74=194. \end{aligned}$$