Vrijeme: 01:14

Primjer 2.

Promotrimo sada još jedan primjer u kojem se koristi Mali Fermatov teorem:

Primjer 2. Ako prost broj p dijeli a^{p} - 1 za neki a \in \mathbb{N}, tada p^2 također dijeli a^{p} - 1. Dokažite.

Rješenje: Prema malom Fermatovom teoremu imamo a^p \equiv a \pmod{p} , a prema uvjetu zadatka a^p \equiv 1 \pmod{p}. Dakle, a \equiv 1 \pmod{p}, tj. p \mid a-1. Nadalje, a^{p-1} + a^{p-2} + \dots + a + 1 \equiv 1 + 1 + \dots + 1 + 1 \equiv p \equiv 0 \pmod{p}, pa vidimo da vrijedi i p \mid a^{p-1} + a^{p-2} + \dots + a + 1. Zato p^2 \mid (p-1)(a^{p-1} + a^{p-2} + \dots + a + 1) = a^p - 1

Za rješenje upišite 1.