Promotrimo sada još jedan primjer u kojem se koristi Mali Fermatov teorem:
\textbf{Primjer 2.} Ako prost broj $p$ dijeli $a^{p} - 1$ za neki $a \in \mathbb{N}$, tada $p^2$ također dijeli $a^{p} - 1$. Dokažite.
\textbf{Rješenje:} Prema malom Fermatovom teoremu imamo $a^p \equiv a \pmod{p}$ , a prema uvjetu zadatka $a^p \equiv 1 \pmod{p}$. Dakle, $a \equiv 1 \pmod{p}$, tj. $p \mid a-1$. Nadalje, $$ a^{p-1} + a^{p-2} + \dots + a + 1 \equiv 1 + 1 + \dots + 1 + 1 \equiv p \equiv 0 \pmod{p},$$
pa vidimo da vrijedi i $p \mid a^{p-1} + a^{p-2} + \dots + a + 1.$ Zato
$$ p^2 \mid (p-1)(a^{p-1} + a^{p-2} + \dots + a + 1) = a^p - 1$$
Za rješenje upišite 1.
dijeli 
za neki 
, tada 
također dijeli 
, a prema uvjetu zadatka 
. Dakle, 
, tj. 
. Nadalje, 
pa vidimo da vrijedi i 
Zato 