MetaMath '22

Riješite jednadžbu $x^2 + 8y = 123$ u cijelim brojevima. \textbf{Rješenje:} Ideja koju ćemo primijeniti ovdje često se koristi u ovakvim zadacima. Cilj je promotriti jednadžbu modulo $n$, za neki $n$ za kojeg ćemo moći eliminirati što više potencijalnih rješenja i svesti zadatak na jednostavniji problem. Primjerice, ovdje ćemo promotriti jednadžbu modulo $8$, zato što time "nestaje" član $8y$ iz jednadžbe, budući da je taj izraz djeljiv s $8$ neovisno o vrijednosti $y$. Dakle, svako potencijano rješenje promatrane jednadžbe mora zadovoljavati: $$x^2 \equiv 3 (mod \, 8),$$ jer je $123 \equiv 3 (mod \, 8)$. Sada možemo samo uvrstiti sve moguće ostatke modulo $8$ umjesto $x$ i provjeriti daje li ijedan od njih nakon kvadriranja ostatak $3$ pri dijeljenju s $8$. Ipak, možemo i nešto pametnije pristupiti problemu i dodatno olakšati posao. Primijetimo da je kvadrat svakog parnog broja nužno djeljiv sa $4$. No, ako je broj djeljiv s $4$, jedini ostatci koje on može davati pri dijeljenju s $8$ su $0$ i $4$. Dakle, $x$ svakako ne može biti paran broj. Nadalje, ako se sjetimo \textbf{primjera 3}, ondje smo komentirali da kvadrati od $x$ i $n-x$ uvijek daju jednake ostatke pri dijeljenju s $n$. Koristeći tu opservaciju, uz prethodnu koja nam govori da je $x$ nužno neparan, preostaje nam samo provjeriti kakve ostatke modulo $8$ daju $1^2$ i $3^2$. Odgovor je u oba slučaja očito $1$, pa možemo zaključiti da ne postoji cijeli broj $x$ čiji kvadrat daje ostatak $3$ pri dijeljenju s $8$, a samim time ne postoji niti jedno rješenje početne jednadžbe. Možda se ove napomene čine nepotrebne s obzirom da nije tako teško izračunati kvadrate $8$ brojeva modulo $8$, ali u praksi možemo imati puno veći broj potrebnih uvrštavanja i zato tu kompleksnost uvijek pokušavamo reducirati "pametnim" trikovima i opservacijama poput ovih ovdje. Sada ste spremni za napadanje ovotjednih zadataka. Kao rješenje upišite $0$ i sretno dalje! :)