Vrijeme: 17:05

Upisana i pripisana kružnica - Primjer 1

Riješit ćemo tipični primjer zadatka s upisanom kružnicom s županijske razine natjecanja. Na nižim je razinama natjecanja uobičajeno susresti zadatke koji se lako riješe metodom površine, a najbitnije je imati na umu da je središte upisane kružnice sjecište simetrala kuteva.

Zadatak: U pravokutnom trokutu ABC simetrale šiljastih kutova \angle ABC i \angle BAC sijeku katete AC i BC redom u točkama D i E. Ako se pravci BD i AE sijeku u točki I, dokažite P_{ABED} = 2P_{ABI}

Rješenje: Ovaj je zadatak zanimljiv jer se u njemu primjenjuje i poučak o simetrali kuta koji kaže da simetrala kuta dijeli nasuprotnu stranicu u omjeru preostalih stranica. Taj nam rezultat često može pomoći u zadacima s upisanom kružnicom - ukoliko se s njim prvi put susrećete, svakako ga dokažite.

Attachment tmsk.png

Kako je BD simetrala kuta \angle ABC vrijedi |AD|:|CD| = c:a i AD + CD = b, nije teško vidjeti da AD = \frac{bc}{a+c} i CD = \frac{ba}{a+c}. Na isti način zaključujemo i da je CE = \frac{ab}{b+c} i BE = \frac{ac}{b+c}.

Attachment pr1skica.png Sada želimo izraziti površinu četverokuta ABED preko površine \triangle ABI.

Vrijedi P_{ABI} =   \frac{c\cdot r}{2} Kako je \triangle DCE pravokutan, čini nam se zgodno izraziti P_{ABED} kao P_{ABC} - P_{DCE}. Računamo: P_{ABC} = \frac{a+b+c}{2}\cdot r P_{DCE} = \frac{|DC|\cdot |CE|}{2} = \frac{1}{2}\cdot \frac{ab}{a+c}\cdot\frac{ab}{b+c} Čini nam se problematično što se u formuli za površinu \triangle DCE ne pojavljuje r, ali kako je trokut \triangle ABC pravokutan, lako možemo izračunati koliki mora biti r pa ga uključiti u formulu. Iz r \cdot \frac{a+b+c}{2} = \frac{ab}{2} slijedi da je r = \frac{ab}{a+b+c}, stoga je P_{DCE}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(a+b+c)\cdot ab}{(a+c)(b+c)} \cdot r

Sada jednostavno računamo

\begin{aligned}\\
P_{ABED}  &= P_{ABC} - P_{DCE} \\
 &= \frac {a+b+c}2 \cdot r \cdot (1 - \frac{ab}{(a+c)(b+c)})  
\\ &= \frac {a+b+c}2 \cdot r \cdot \frac{(a+c)(b+c)-ab}{(a+c)(b+c)}  
\\ &= \frac{a+b+c}{2}\cdot r \cdot \frac{c\cdot (a+b+c)}{(a+c)(b+c)}
\end{aligned}

Sada prepoznamo izraz za P_{ABI}: \begin{aligned}\\
P_{ABED}   &=  P_{ABI} \cdot \frac{ (a+b+c)^2}{(a+c)(b+c)}
\end{aligned}

Dakle, ako dokažemo da je (a+b+c)^2 = 2(a+c)(b+c), gotovi smo. Raspisujemo: \begin{aligned}\\
2(a+c)(b+c) &= 2ab + 2bc + 2ac + 2c^2\\
 &= 2ab + 2bc + 2ac + c^2 + c^2 
\\ &= 2ab + 2bc + 2ac + c^2 + a^2+b^2  \quad \quad \quad \text{ Pitagora} 
\\ &= (a+b+c)^2
\end{aligned}

Stoga je P_{ABED} = 2P_{ABI} što je trebalo dokazati. Malo drugačije rješenje ovog zadatka i još puno sličnih primjera možete pronaći u MNM predavanju o metodi površine.

Kao rješenje upišite najmanji prosti broj djeljiv s 1.