Primjer 1. Dana je kružnica 
te točka 
izvan nje. Kroz su povučena dva pravca koji sijeku danu kružnicu u 
i 
, odnosno 
i 
. Dokažite da vrijedi 
.
Rješenje.
Sa MNM predavanja 1.zadatak:
Neka su točke 
i vrhovi četverokuta tim redom. Trokuti 
i 
imaju zajednički kut pri te su kutevi 
i 
jednaki jer je četverokut tetivan. Naime, 
. Sada slijedi da su ta dva trokuta slična pa imamo 
, iz čega dobivamo 
.
Napomena.
1) Neke oznake koje se koriste za potenciju točke 
na kružnicu : 
.
2) Ukoliko bi pomicali sekantu 
, tj. približavali točke i te naposlijetku dobili tangentu iz točke na kružnicu (
) 
što drugačije možemo zapisati, koristeći Pitagorin poučak, 
gdje je 
središte te 
pripadni radijus, izraz može biti negativan ukoliko bude unutar kružnice.
3) Sličan dokaz vrijedi i za unutar kružnice, dok 
.
4) Naime, vrijedi i obrat, ukoliko vrijedi (i je na dužinama 
i 
ili nije na nijednoj od njih) onda je četverokut 
tetivan, tj. postoji kružnica na kojoj se te točke nalaze.
5) Broj koji upisujete kao rješenje je broj ove napomene.
\textbf{Primjer 1.} Dana je kružnica $k$ te točka $T$ izvan nje. Kroz $T$ su povučena dva pravca koji sijeku danu kružnicu u $A$ i $B$, odnosno $C$ i $D$. Dokažite da vrijedi $|T A| \cdot |T B| = |T C| \cdot |T D|$. \\ \\
\textbf{Rješenje.} \\
\includegraphics{pop1.png}
\href{https://www.skoljka.org/media/attachment/1/00116_48xzf99ba0cr2eexgop8/potencija_tocke.pdf}{Sa MNM predavanja 1.zadatak:} \\
Neka su točke $A, B, C$ i $D$ vrhovi četverokuta tim redom. Trokuti $\triangle TAD$ i $\triangle TCB$ imaju zajednički kut pri $T$ te su kutevi $\angle TAD$ i $\angle TCB$ jednaki jer je četverokut tetivan. Naime, $\angle TAD = 180^{\circ} - \angle BAD=\angle BCD$. Sada slijedi da su ta dva trokuta slična pa imamo $\frac{|TA|}{|TD|} =\frac{|TC|}{|TB|}$, iz čega dobivamo
$|TA| \cdot |TB|= |TC| \cdot |TD|$. \\ \\
Napomena.
1) Neke oznake koje se koriste za potenciju točke $X$ na kružnicu $k$: $(X, k), \text{Pow}(X, k)$.
2) Ukoliko bi pomicali sekantu $TC$, tj. približavali točke $C$ i $D$ te naposlijetku dobili tangentu iz točke $T$ na kružnicu $k$ ($C \equiv D$)
$$\implies \text{Pow}(T, k) = TC\cdot TD = TC^2,$$
što drugačije možemo zapisati, koristeći Pitagorin poučak,
$$\text{Pow}(T, k) = |TO|^2-r^2,$$
gdje je $O$ središte $k$ te $r$ pripadni radijus, izraz može biti negativan ukoliko $T$ bude unutar kružnice.
3) Sličan dokaz vrijedi i za $T$ unutar kružnice, dok $T \in k \implies \text{Pow}(T, k) = 0$.
4) Naime, vrijedi i obrat, ukoliko vrijedi $|TA| \cdot |TB|= |TC| \cdot |TD|$ (i $T$ je na dužinama $AB$ i $CD$ ili $T$ nije na nijednoj od njih) onda je četverokut $ABCD$ tetivan, tj. postoji kružnica na kojoj se te točke nalaze.
5) Broj koji upisujete kao rješenje je broj ove napomene.
