MetaMath '22

\textbf{Primjer 2.} Neka su $k_1$ i $k_2$ dvije kružnice koje se sijeku u točkama $A$ i $B$. Dokažite da je pravac $AB$ geometrijsko mjesto svih točaka koje imaju jednaku potenciju na obje kružnice. \\ \\ \textbf{Rješenje.} \\ \includegraphics{pop2.png} (\href{https://www.skoljka.org/media/attachment/1/00116_48xzf99ba0cr2eexgop8/potencija_tocke.pdf}{MNM predavanja 5.zadatak}) \\ Neka je $P$ proizvoljna točka na $AB$, tada $(P, k_1) = PA\cdot PB = (P, k_2)$, čime smo dokazali da sve točke na pravcu imaju jednaku potenciju na obje kružnice. Pretpostavimo da postoji točka $Q$ koja se ne nalazi na $AB$ takva da ima jednaku potenciju na obje kružćnice, tada pravac $PB$ siječe $k_1$ i $k_2$ u $C$ i $D$ (različite od $A$, $|CD|>0$), redom. No sada imamo $$(Q, k_1) = (Q, k_2) \implies QC\cdot QB = QD\cdot QB \implies QC = QD,$$ što daje kontradikciju (budući da se $Q$ ne nalazi između $C$ i $D$) te time i tvrdnju zadatka. Tada pravac $AB$ zovemo \textbf{radikalna os} kružnica $k_1$ i $k_2$. \\ \\ Upišite broj točaka sa skice.