MetaMath '22

Petnaestero učenika uključilo se u ljetni matematički kamp. Svaki dan je troje učenika zaduženo za čišćenje učionice. Nakon završetka kampa doznajemo da je svaki par učenika zajedno čistio učionicu točno jednom. Koliko je dana trajao kamp? \textbf{Primjer} Označimo sa $k$ broj dana trajanja kampa. Prebrojat ćemo koliko je ukupno parova učenika zajedno čistilo. S jedne strane, znamo da je svaki par učenika čistio točno jednom pa je broj parova jednak $$\binom{15}{2}.$$ S druge strane, svaki dan (od ukupno $k$ dana) je troje učenika bilo zaduženo za čišćenje. Od tri učenika u jednom danu broj parova koji možemo odabrati jednak je $\binom{3}{2}$, pa je ukupan broj parova jednak $$k\cdot\binom{3}{2}.$$ Po principu dvostrukog prebrojavanja zaključujemo da se ta dva broja moraju podudarati, pa je $$\begin{aligned} k\cdot\binom{3}{2}&=\binom{15}{2}\\ \binom{3}{1}k&=\frac{15\cdot 14}{2}\\ 3k&=105\\ k&=35. \end{aligned}$$ Dakle, kamp je trajao $35$ dana. Kao rješenje upišite $0$.