Primjer 7.
Neka su prirodni brojevi i neka je skup od točaka takvih da za svaku točku iz skupa postoji barem točaka iz skupa koje su jednako udaljene od točke . Dokažite da vrijedi
Dokaz. Najprije ćemo danu nejednakost prevesti u ekvivalentnu koja će nam biti korisnija. Imamo Budući da su i prirodni brojevi, gornja nejednakost vrijedi ako i samo ako vrijedi nejednakost: koju ćemo i dokazati. Spojimo svaku točku skupa sa svakom drugom točkom. Prebrojat ćemo tako nastale bridove na dva načina.
Kako skup ima različitih točaka ukupno ima brida (odaberemo dvije točke i spojimo ih bridom).
S druge strane, po pretpostavci svaka točka skupa ima barem točaka jednako udaljenih od nje. Uzmimo proizvoljnu točku skupa i nacrtajmo kružnicu sa središtem u i polumjerom takvim da siječe skup u barem točaka . Tada je svaka dužina ujedno i polumjer te kružnice i brid koji želimo prebrojati. Ponovimo li ovaj postupak za svaku točku dobivamo da tako konstruiranih bridova, brojeći kratnost (nismo orijentirali dužinu), ima barem Uzmimo proizvoljne dvije točke skupa i pripadne konstruirane kružnice. Neka je središte prve kružnice i neka je neki njen polumjer. Ako druga kružnica ima isti polumjer tada je središte druge kružnice ili ili . Ukoliko bi to bio tada bi se kružnice poklapale pa bi bile iste. Dakle, središte je a polumjer . Ovo pokazuje da dvije različite kružnice dijele najviše jedan polumjer. Stoga smo najviše brojali dvaput, pa različitih bridova dobivenih ovom konstrukcijom ima barem Taj broj nije veći od ukupnog broja bridova, što daje nejednakost Iz ovoga lako slijedi nejednakost koju trebamo pokazati
Kao rješenje upišite .