Indukcija - Uvod 3
Dokaze matematičkom indukcijom možemo koristiti i kod dokazivanja tvrdnji koje vrijede za sve prirodne brojeve koji su veći ili jednaki , gdje je neki prirodni broj. Tada se princip matematičke indukcije može izreći ovako:
Generalizirani princip matematičke indukcije
Ako iz pretpostavke indukcije slijedi da tvrdnja koju trebamo dokazati vrijedi i za broj , onda navedena tvrdnja vrijedi za svaki prirodan broj . Uočite da je princip koji smo prije koristili zapravo gornji princip za . Upamtite, baza indukcije je uvijek najmanji broj od svih brojeva na koje se tvrdnja odnosi. Pogledajmo sljedeći primjer. Dokažimo nejednakost: Tvrdnju ćemo dokazati korištenjem prethodno spomenutog principa matematičke indukcije za .
BAZA INDUKCIJE Za imamo nejednakost koja očito vrijedi.
PRETPOSTAVKA INDUCKIJE Pretpostavimo da postoji takav da vrijedi nejednakost
KORAK INDUCKIJE Dokazujemo tvrdnju za , tj da je Vrijedi Posljednja nejednakost vrijedi zbog Upišite 1 za novi primjer.