MetaMath '22

Pokažimo da $$\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\ldots \sqrt{4}}}}<3,$$ pri čemu korijena ima $n \in \mathbb{N}$. Za $n \in \mathbb{N}$ označimo $$ a_n=\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\ldots \sqrt{4}}}} $$ pri čemu u gornjem izrazu ima $n$ korijena. Tvrdimo da je $a_n<3$, za svaki $n \in \mathbb{N}$. BAZA INDUKCIJE Za $n=1$ imamo $a_1=\sqrt{4}=2<3$. PRETPOSTAVKA INDUKCIJE Pretpostavimo da $a_k<3$, za neki $k \in \mathbb{N}$. KORAK INDUKCIJE Dokazujemo tvrdnju zadatka za $k+1$. Uočimo da je $$ a_{k+1}=\sqrt{4+a_k} . $$ Sada je prema pretpostavci $4+a_k<4+3=7$, a onda je $a_{k+1}<\sqrt{7}<3$. Tražena nejednakost dakle vrijedi i za $k+1$. Upišite 1 za kraj uvodog lanca.