MetaMath '22 - demo

\textbf{Primjer.} Koliko ima deveteroznamenkastih brojeva čije su znamenke $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ i $9$, a nikoje tri uzastopne znamenke nisu ni $123$, ni $246$, ni $678$? \textbf{Rješenje.} Ukupno ima $9!$ deveteroznamenkastih brojeva koji imaju znamenke od $1$ do $9$. Od toga broja moramo oduzeti broj brojeva koji imaju tri uzastopne znamenke $123$, $246$ ili $678$. Brojeva koji imaju uzastopne znamenke $123$ ima $7!$ (permutiramo taj blok i preostalih $6$ znamenaka). Analogno, brojeva koji sadrže $246$ ima $7!$ i brojeva koji sadrže $678$ ima $7!$. Uočimo da rješenje nije $9! - 3 \cdot 7!$ jer smo više puta oduzeli brojeve koji sadrže $123$ i $678$, odnosno one koji sadrže $246$ i $678$. Ne postoji broj kojemu su i $123$ i $246$ uzastopne znamenke. Brojeva koji sadrže $123$ i $678$ ima $5!$, a koji sadrže $246$ i $678$, tj. $24678$, ima također $5!$. Konačno rješenje je $9! - 3 \cdot 7! + 2 \cdot 5! = 348000$. Ovdje smo koristili \textbf{princip uključivanja-isključivanja} u njegovom najjednostavnijem obliku. Vizualno možete predočiti skupove koje prebrojavamo \emph{Vennovim dijagramima}. \textit{Upišite 0 kao rješenje za prijelaz na sljedeći primjer.}