MetaMath '22 - demo

\textbf{Primjer} Neka su $a, \, b$ i $c$ realni brojevi takvi da vrijedi $a+b>0$, $b+c>0$ i $b<0$. Dokažite da vrijedi $$a^2b + b^2c + c^2a + abc > -ab^2 - bc^2 - ca^2 - abc.$$ \textbf{Rješenje} Prebacivanjem svih članova na istu stranu dobivamo $$a^2b + b^2c + c^2a + ab^2 + bc^2 + ca^2 + 2abc > 0.$$ Izraz na lijevoj strani možemo faktorizirati grupirajući članove na sljedeći način \begin{align*} a^2b + b^2c + c^2a + ab^2 + bc^2 + ca^2 + 2abc &= (a^2b+ab^2) + (a^2c+abc) + (ac^2+bc^2) + (b^c+abc) \\ &= ab(a+b) + ac(a+b) + c^2(a+b) + bc(a+b) \\ &= (a+b)(ab+ac+c^2+bc) \\ &= (a+b)(a(b+c) + c(b+c)) \\ &= (a+b)(b+c)(c+a) \end{align*} Dakle, dokažemo li da je $(a+b)(b+c)(c+a)>0$, biti će dokazana i početna nejednakost. Sada koristimo uvjete zadatka. Već znamo da je $a+b>0$ i $b+c>0$ pa preostaje pokazati da je $a+c>0$. Međutim, iz $b<0$ slijedi $-b>0$ dok iz uvjeta $a+b>0$ imamo $a>-b$. Dakle, $a$ je pozitivan, a analogno dobivamo i da je $c$ pozitivan pa je zaista i faktor $c+a>0$ i tvrdnja je dokazana. Kao rješenje, upišite za koliko je lijeva strana polazne nejednakosti veća od desne strane za $a=2$, $b=-1$ i $c=3$.