MetaMath '22 - demo

\textbf{Primjer} Dokažite da za pozitivne realne brojeve $a, \, b $ i $c$ vrijedi $$\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} \geq a+b+c.$$ \textbf{Rješenje} Probajmo kombinirati neka $2$ ili možda čak sva $3$ člana na lijevoj strani kroz A-G nejednakost kako bismo na desnoj strani nejednakosti dobili $a$. Ideja je onda analogni postupak primijeniti i na $b$ i $c$ i sumiranjem dobiti upravo promatranu nejednakost. Vidimo da izrazi $\frac{ab}{c}$ i $\frac{ca}{b}$ oba u brojniku imaju $a$, dok se $b$ i $c$ kod jednog izraza pojavljuju u brojniku, a kod drugog u nazivniku. To znači da ćemo u množenju koje se događa na desnoj strani A-G nejednakosti imati poništavanje članova $b$ i $c$. To je motivacija za primjenu A-G nejednakosti na ova $2$ člana $$\frac{\frac{ab}{c} + \frac{ca}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{ab}{c} \cdot \frac{ca}{b}} = \sqrt{a^2} = a.$$ Sada analogno primijenjujemo na druga $2$ para pribrojnika na lijevoj strani početne nejednakosti i sumiranjem svih triju rezultata A-G nejednakosti je početna tvrdnja dokazana. Kao rješenje upišite vrijednost od $b$ i $c$ za koju se postiže jednakost u slučaju $a=7$.