MetaMath '22 - demo

Vrijeme: 19:46

Metoda kongruencija

Primjer 1

Nađi sve prirodne brojeve brojeve $m$ i $n$ koji zadovoljavaju jednadžbu $n^4+16m=7993.$

Rješenje

Kada bi $n$ bio paran broj, lijeva strana jednadžbe bi bila parna, a desna je neparna pa u tom slučaju nema rješenja. Ako je $n$ neparan, možemo ga zapisati kao $n=2k-1$ , za neki prirodan broj $k$ pa uvrštavanjem dobivamo $\begin{align*} (2k-1)^2+16m &= 7993 \\ (4k^2-4k+1)^2+16m &= 7993 \\ 16k^4-32k^3+24k^2-8k+1 + 16m &= 7993 \\ 8k(2k^3-4k^2+3k-1) + 16m &= 7992\ /\div 8 \\ k((2k^3-2k^2)-(2k^2-2k)+(k-1)) + 2m &= 999 \\ k(k-1)(2k^2-2k+1) + 2m &= 999 \text. \end{align*}$ Kako su $k-1$ i $k$ uzastopni prirodni brojevi, jedan od njih je paran pa su oba pribrojnika na lijevoj strani završne jednadžbe parna, dok je desna strana neparna. Zato ova jednadćba nema rješenja.

Primjer 2

Nađite sve prirodne brojeve $x$ i $y$ koji zadovoljavaju jednadžbu $x^2+y^2=1000003.$

Rješenje Promotrimo ostatke koje kvadrat prirodnog broja može davati pri dijeljenju s $4$ . To vidimo iz sljedeće tablice:

$\begin{tabular}{c | c | c | c | c} $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline $n^2$ & 0 & 1 & 0 & 1 \end{tabular}$

Dakle, suma dva potpuna kvadrata kao na lijevoj strani jednadžbe može poprimiti sve ostatke pri dijeljenju s $4$ osim $3$ . No, broj na desnoj strani jednadžbe daje upravo ostatak $3$ pri dijeljenju s $4$ pa ni ova jednadžba nema rješenja.

Sada ste spremni sami primijenjivati spomenute metode na zadacima! Upišite $0$ kao rezultat.

Još jedna standardna metoda pri rješavanju diofantskih jednadžbi je promatranje ostataka koje razni izrazi u jednadžbi daju pri dijeljenju s nekim brojem. Primjerice, pokažemo li da lijeva strana jednadžbe uvijek mora davati ostatke $3$ ili $4$ pri dijeljenju s $5$, a da desna strana daje ostatak $0$, onda možemo zaključiti da jednadžba nema rješenja. Pritom često koristimo izraz oblika $$a \text{ je} \textit{ kongruentno } b \textit{ modulo } c \hspace{1cm} \text{ ili simbolima } \hspace{1 cm} a \equiv b \, (\text{mod } c).$$ To znači da broj $a$ pri dijeljenju brojem $c$ daje ostatak $b$. Npr, $7 \equiv 1 \, (\text{mod } 3)$ ili $27 \equiv 2 \, (\text{mod } 5)$. \textbf{Primjer 1} Nađi sve prirodne brojeve brojeve $m$ i $n$ koji zadovoljavaju jednadžbu $$n^4+16m=7993.$$ \textbf{Rješenje} Kada bi $n$ bio paran broj, lijeva strana jednadžbe bi bila parna, a desna je neparna pa u tom slučaju nema rješenja. Ako je $n$ neparan, možemo ga zapisati kao $n=2k-1$, za neki prirodan broj $k$ pa uvrštavanjem dobivamo \begin{align*} (2k-1)^2+16m &= 7993 \\ (4k^2-4k+1)^2+16m &= 7993 \\ 16k^4-32k^3+24k^2-8k+1 + 16m &= 7993 \\ 8k(2k^3-4k^2+3k-1) + 16m &= 7992\ /\div 8 \\ k((2k^3-2k^2)-(2k^2-2k)+(k-1)) + 2m &= 999 \\ k(k-1)(2k^2-2k+1) + 2m &= 999 \text. \end{align*} Kako su $k-1$ i $k$ uzastopni prirodni brojevi, jedan od njih je paran pa su oba pribrojnika na lijevoj strani završne jednadžbe parna, dok je desna strana neparna. Zato ova jednadćba nema rješenja. \textbf{Primjer 2} Nađite sve prirodne brojeve $x$ i $y$ koji zadovoljavaju jednadžbu $$x^2+y^2=1000003.$$ \textbf{Rješenje} Promotrimo ostatke koje kvadrat prirodnog broja može davati pri dijeljenju s $4$. To vidimo iz sljedeće tablice: \begin{center} \begin{tabular}{c | c | c | c | c} $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline $n^2$ & 0 & 1 & 0 & 1 \end{tabular} \end{center} Dakle, suma dva potpuna kvadrata kao na lijevoj strani jednadžbe može poprimiti sve ostatke pri dijeljenju s $4$ osim $3$. No, broj na desnoj strani jednadžbe daje upravo ostatak $3$ pri dijeljenju s $4$ pa ni ova jednadžba nema rješenja. Sada ste spremni sami primijenjivati spomenute metode na zadacima! Upišite $0$ kao rezultat.