MetaMath '22 - demo

\textbf{Prvo rješenje} Primijenimo $A-G$ nejednakost na prva dva člana s lijeve strane $$\frac{\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2}}{2} \geq \sqrt{\frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b^2}{c^2}} = \sqrt{\frac{a^2}{c^2}} = \frac{a}{c}.$$ Analognom primjenom i na preostala $2$ para članova na lijevoj strani početne nejednakosti i zbrajanjem tih triju izraza, dolazimo do tvrdnje koju je trebalo dokazati. \textbf{Drugo rješenje} Pomnožimo cijelu jednadžbu s $a^2b^2c^2$ i prebacimo sve članove na istu stranu te ih pažljivo grupirajmo \begin{align*} &\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + \frac{c^2}{a^2} \geq \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \\ \Leftrightarrow \ & a^4c^2 + a^2b^4 + b^2c^4 - a^3b^2c - ab^3c^2 - a^2bc^3 \geq 0 \\ \Leftrightarrow \ & \frac{a^2}{2}(a^2c^2 - 2ab^2c + b^4) + \frac{b^2}{2}(a^2b^2 - 2abc^2 + c^4) + \frac{c^2}{2}(b^2c^2 - 2a^2bc + a^4) \geq 0 \\ \Leftrightarrow \ & \frac{1}{2}a^2(ac-b^2)^2 + \frac{1}{2}b^2(ab-c^2)^2 + \frac{1}{2}c^2(bc-a^2)^2 \geq 0 \end{align*} Posljednja nejednakost je očito istinita jer na lijevoj strani imamo sumu kvadrata realnih brojeva koji su nenegativni. Kako je posljednja nejednakost ispravna, mora vrijediti i početna te je tvrdnja dokazana.