Ideja nam je nekako pokratiti nazivnike. Iz tog razloga koristimo činjenicu $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=(a^2+b^2)+2ab \geq 2ab+2ab=4ab$, pri čemu smo koristili $A-G$ nejednakost. Zato vrijedi
$$\frac{ab^2}{a+b} = \frac{ab \cdot b}{a+b} \leq \frac{\frac{(a+b)^2}{4} \cdot b}{a+b} = \frac{(a+b)b}{4}.$$
Primjenom istog postupka na preostala $2$ razlomka i sumiranjem dobivamo
$$\frac{ab^2}{a+b} + \frac{bc^2}{b+c} + \frac{ca^2}{c+a} \leq \frac{(a+b)b}{4} + \frac{(b+c)c}{4} + \frac{(c+a)a}{4} = \frac{ab+b^2+bc+c^2+ca+a^2}{4} \leq \frac{\frac{a^2+b^2}{2}+b^2+\frac{b^2+c^2}{2}+c^2+\frac{c^2+a^2}{2}+a^2}{4} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2},$$
pri čemu smo u predzadnjem koraku koristili $A-G$ nejednakost tri puta.
, pri čemu smo koristili 
nejednakost. Zato vrijedi 
Primjenom istog postupka na preostala 
razlomka i sumiranjem dobivamo 
pri čemu smo u predzadnjem koraku koristili