MetaMath '22 - demo

Ako je $d(n)$ broj djelitelja broja $n$, a $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} ... p_k^{\alpha_k}$ prosta faktorizacija broja $n$, vrijedi poznata formula $d(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)...(\alpha_k + 1)$. Ako je $d(n)$ neparan, zaključujemo da je svaki od gore napisanih faktora također neparan pa je $\alpha_i$ paran za sve $i \in \{1, 2, ..., k\}$. Zato je $n$ kvadrat prirodnog broja, a tako je i $n + 100$. Imamo $n = k^2$, $n + 100 = l^2$. Slijedi: $$k^2 + 100 = l^2 \ \Rightarrow \ (l - k)(l + k) = 100$$ Vrijedi $l + k > l - k;\ \forall k, l \in \mathbb{N}$ pa imamo mogućnosti: $$l + k = 100, l - k = 1$$ $$l + k = 50, l - k = 2$$ $$l + k = 25, l - k = 4$$ $$l + k = 20, l - k = 5$$ Jedino cjelobrojno rješenje ovdje je $k = 24$, a može se provjeriti da $n = 24^2$ doista zadovoljava uvjete zadatka.