MetaMath '22 - demo

U ovom rješenju ćemo više puta koristiti jednostavnu činjenicu da je $\frac{3}{c} > 0$. Primiijetimo da vrijedi $$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} > \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{3}{c} = 1.$$ Ako je $a \geq 3, \, b \geq 3$, vrijedi $$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \leq \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1,$$ što je kontradikcija s gornjom tvrdnjom pa tada jednadžba nema rješenja. Preostaje provjeriti slučajeve \begin{enumerate} \item $a = 1 \ \Rightarrow \ \frac{2}{b} - \frac{3}{c} = 0 \ \Rightarrow \ 2c = 3b \ \Rightarrow$ rješenja: $(a, b, c) = (1, 2t, 3t); \ t \in \mathbb{N}$. \item $a = 2 \ \Rightarrow \ \frac{2}{b} - \frac{3}{c} = \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ b \leq 3$ ponovno zbog $\frac{3}{c} > 0$. Provjerom dobijemo rješenja $(2,1,2), \, (2,2,6), \, (2,3,18)$. \item $b=1 \ \Rightarrow \ \frac{1}{a} - \frac{3}{c} = -1 \ \Rightarrow \ a = \frac{3-c}{c}$. Kako je $a \in \mathbb{N}$, mora biti $c \leq 2$ i jedino rješenje je $(2,1,2)$. \item $b=1 \ \Rightarrow \ \frac{1}{a} - \frac{3}{c} = 0 \ \Rightarrow \ c = 3a \ \Rightarrow \ $ rješenja: $(a, b, c) = (t, 1, 3t); \ t \in \mathbb{N}$. \end{enumerate}