MetaMath '22 - demo

Primijetimo da je $\sphericalangle FCA = \sphericalangle ABE$ jer je četverokut $AEBC$ tetivan. Dokažimo $\sphericalangle ABE = \sphericalangle AGH$ - dovoljno je pokazati da je četverokut $AHGB$ tetivan. Četverokut $AFBD$ je tetivan pa je $\sphericalangle DAB = \sphericalangle DFB = x$. Ponovno koristimo činjenicu da je četverokut $AEBC$ tetivan odakle dobivamo $\sphericalangle CAB = \sphericalangle CEB = y$. Sada je iz $\sphericalangle CAB = \sphericalangle CAD + \sphericalangle DAB$ jasno da je $\sphericalangle CAD = y - x$. Vrijedi $\sphericalangle HAG = \sphericalangle CAD = y - x$, jer su to vršni kutovi. Nadalje, vrijedi i $\sphericalangle CEB + \sphericalangle FEB = 180^\circ$, tj. kako je $\sphericalangle CEB = y$ imamo $\sphericalangle FEB = 180^\circ - y$. Iz trokuta $EFB$ proizlazi $\sphericalangle FEB + \sphericalangle DFB + \sphericalangle HBG = 180^\circ$ pa uvrštavajem poznatih kutova dobivamo $\sphericalangle HBG = y - x$. Kako je $\sphericalangle HBG = \sphericalangle HAG = y - x$ slijedi da je četverokut $AHGB$ tetivan. Iz toga proizlazi da je $\sphericalangle AGH = \sphericalangle ABE$, što znači zbog $\sphericalangle ABE = \sphericalangle FCA$ da je $\sphericalangle FCA = \sphericalangle AGH$, a kako su to kutevi uz presječnicu $CG$, slijedi da su pravci $HG$ i $CF$ paralelni.