MetaMath '22 - demo

Neka je težišnica iz vrha $A$ do polovišta $P$ stranice $\overline{BC}$ duga $18$, a težišnica iz vrha $C$ do polovišta $R$ stranice $\overline{AB}$ duga $24$ te neka se težišnice sijeku u težištu $T$. Budući da težište dijeli težišnice u omjeru $2:1$, zaključujemo da je $|AT|=12, \, |PT|=6, \, |CT| = 16, \, |RT| = 8$. Produžimo težišnicu $AT$ preko $P$ do točke $M$ tako da je $MP=6$, a težišnicu $CT$ preko $R$ do točke $N$ tako da je $RN=8$. Lako se vidi da su trokuti $TPC$ i $MPB$ sukladni, kao i trokuti $TRA$ i $NRB$, po $S-K-S$ poučku. Iz toga onda slijedi da je $BMTN$ pravokutnik, jer su kutovi uz vrhove $M$, $T$ i $N$ pravi. Primijetimo da je $P_{ABC} = P_{ART} + P_{RBPT} + P_{TPC} + P_{CAT}$. No, zbog dokazanih sukladnosti vidimo da je $P_{ART} + P_{RBPT} + P_{TPC} = P_{BMTN}$. Stoga je $$P_{ABC} = P_{BMTN} + P_{CAT} = (2|PT|) \cdot (2|RT|) + \frac{|AT| \cdot |CT|}{2} = 16 \cdot 12 + \frac{12 \cdot 16}{2} = 288.$$