MetaMath '22 - demo

Označimo vrhove trapeza redom $ABCD$ pri čemu je $\overline{AB}$ duža osnovica, a $\overline{CD}$ kraća. Uvedimo oznake $|AB|=a, \, |BC|=|DA|=b, \, |CD|=c$. Neka su $M$ i $N$ redom nožišta visina iz vrhova $C$ i $D$ na osnovicu $\overline{AB}$. Jasno je da su trokuti $MBC$ i $NAD$ sukladni, a očito je i $|MN|=c$. Zato je $|MB|=|NA|=\frac{a-c}{2}$. Promotrimo trokut $AMC$. On je pravokutan i vrijedi $\sphericalangle CAM = 45^\circ$ pa je zato i jednakokračan. Zato je $$\frac{a+c}{2} = \frac{a-c}{2} + c = |AN| + |NM| = |AM| = |CM| = v,$$ pri čemu je $v$ duljina visina na dužu osnovicu. Kako je hipotenuza u promatranom trokutu duljine $12$, vrijedi $(\frac{a+c}{2})^2 + v^2=2v^2=12^2 \ \Rightarrow \ v = 6\sqrt{2}$. Za kraj, po formuli za površinu trapeza dobivamo: $$P = \frac{a+c}{2} \cdot v = v^2 = 72.$$