MetaMath '22 - demo

Neka je $P$ polovište dužine $\overline{AD}$, a $R$ polovište od $\overline{BD}$. Kako težišta dijele težišnice u omjeru $2:1$, imamo $$\frac{|CM|}{|CP|} = \frac{2}{3} = \frac{|CN|}{|CR|}.$$ K tome, trokuti $CMN$ i $CPR$ dijele kut pri vrhu $C$ pa su slični po $S-K-S$ poučku i posljedično vrijedi $MN \parallel AB$, $\frac{|MN|}{|PR|} = \frac{2}{3}$ te $v' = \frac{2}{3}v$, pri čemu je $v'$ duljina visine iz $C$ na $MN$, a $v$ duljina visine iz $C$ na $AB$. Dodatno, primijetimo da je $|PR| = |PD| + |DR| = \frac{|AD|}{2} + \frac{|BD|}{2} = \frac{|AB|}{2}$, pa je $|MN| = \frac{|AB|}{3}$. Sada je $$P_{CMN} = \frac{|MN| \cdot v'}{2} = \frac{\frac{|AB|}{3} \cdot \frac{2v}{3}}{2} = \frac{2}{9} \cdot \frac{|AB| \cdot v}{2} = \frac{2}{9} P_{ABC} = \frac{2}{9} \cdot \frac{27 \cdot 14}{2} = 42.$$