MetaMath '22 - demo

Neka u trokutu $ABC$ visina iz $C$ ima nožište $D$ i vrijedi $|AD|=14$ te $|BD|=36$. Neka pravac $p$ presjeca dužinu $\overline{AB}$ u točki $E$, a dužinu $\overline{BC}$ u točki $F$. Uvedimo oznake $v=|CD|, \, v'=|EF|, \, y=|BE|$. $CD$ i $p$ su paralelni pravci pa iz sličnosti trokuta $EBF$ i $DBC$ dobivamo $$\frac{v'}{v} = \frac{y}{36}.$$ S druge strane, kako trokut $EBF$ čini polovicu površine trokuta $ABC$, zaključujemo $$\frac{v' \cdot y}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{50v}{2} \ \Rightarrow \ yv'=25v \ \Rightarrow \ \frac{v'}{v} = \frac{25}{y}.$$ Koristeći dobivene $2$ jednakosti dobivamo $$\frac{y}{36} = \frac{25}{y} \ \Rightarrow \ y = 30.$$