Geometrija - Omjeri i površine: Polumjer upisane - RJEŠENJE
Neka je polumjer upisane kružnice trokuta, a njegov poluopseg. Vrijedi poznata formula , a također i , gdje je duljina visine na stranicu . Izjednačavanjem ta dva izraza imamo što je i trebalo dokazati.
Neka je $r$ polumjer upisane kružnice trokuta, a $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{a + \frac{a+c}{2} + c}{2} = \frac{3}{4}(a + c)$ njegov poluopseg. Vrijedi poznata formula $P = r s$, a također i $P = \frac{bh}{2} = \frac{(a + c)h}{4}$, gdje je $h$ duljina visine na stranicu $b$. Izjednačavanjem ta dva izraza imamo
$$\frac{3}{4}(a + c) \cdot r = \frac{(a + c)h}{4} \ \Rightarrow \ 3r = h,$$
što je i trebalo dokazati.
polumjer upisane kružnice trokuta, a 
njegov poluopseg. Vrijedi poznata formula 
, a također i 
, gdje je 
duljina visine na stranicu 
. Izjednačavanjem ta dva izraza imamo 
što je i trebalo dokazati.