MetaMath '22 - demo

Budući da je točaka konačno, one čine konačan broj trokuta, pa među tim trokutima postoji trokut maksimalne površine (trokut $\triangle ABC$). Promotrimo trokut kojem su $\overline{AB}, \overline{BC}$ i $\overline{CA}$ srednjice i nazovimo ga $\triangle XYZ$. Površina tog trokuta točno je $4$ puta veća od površine trokuta $\triangle ABC$, dakle nije veća od $4$, a mi tvrdimo da su sve točke iz skupa unutar tog trokuta. Pretpostavimo suprotno, da se točka $D$ nalazi izvan trokuta. Tada se ona nalazi s druge strane barem jednog od pravaca $XY$, $YZ$ i $XZ$. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da se nalazi s druge strane pravca $XY$, koji je paralelan s $AB$. Tada je površina trokuta $\triangle ABD$ veća od površine trokuta $\triangle ABC$ (imaju zajedničku stranicu $AB$, a $\triangle ABD$ ima dulju visinu. To je u suprotnosti s pretpostavkom da $\triangle ABC$ ima najveću površinu. Dakle, takva točka $D$ ne postoji i sve se nalaze unutar trokuta $\triangle XYZ$.