MetaMath '22 - demo

Promotrimo skup $\mathbb{S}$ svih sjecišta promatranih pravaca. Neka je $A \in \mathbb{S}$ i $l$ pravac takvi da je udaljenost među njima minimalna među svim mogućima udaljenostima neke točke iz $\mathbb{S}$ od nekog od promatranih pravaca. Kroz točku $A$ prolaze barem $3$ pravca, a kako nijedan nije paralelan s $l$, pretpostavimo da ga sijeku redom u točkama $B,C,D$. Neka je $N$ nožište okomice iz $A$ na $l$. Neke $2$ točke među $B,C,D$ moraju se nalaziti s iste strane točke $N$ na pravcu $l$ - pretpostavimo da su to $C$ i $D$ te neka je $|CN| < |DN|$. Sada imamo pravokutan trokut $AND$ i točku $C$ na jednoj od njegovih kateta te je jasno da je okomica iz nje na hipotenuzu $\overline{AD}$ kraća od $|AN|$, što je kontradikcija s pretpostavkom da smo odabrali par $A$ i $l$ za koji je udaljenost najmanja.