MetaMath '25

\textbf{\textit{Primjer 1.}} Izračunajmo zbroj prvih 100 prirodnih brojeva. \textbf{\textit{Rješenje.}} Poznata je anegdota o mladom Gaussu, koji je u osnovnoj školi trebao brzo zbrojiti prvih sto prirodnih brojeva: \[ 1 + 2 + 3 + \cdots + 100. \] Umjesto da ih zbraja jedan po jedan, Gauss je primijetio da ako napišemo sumu dvaput, jednom u rastućem, a jednom u padajućem redoslijedu, dobivamo: \[ S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 99 + 100, \] \[ S = 100 + 99 + 98 + \cdots + 2 + 1. \] Zbrojimo li te izraze član po član, svaki par daje $101$: \[ 2S = (1+100) + (2+99) + (3+98) + \cdots + (99+2) + (100+1). \] Ukupno ima $100$ takvih parova, pa vrijedi \[ 2S = 100 \cdot 101, \] odnosno \[ S = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050. \] Koliko je $1+2+3+\dots+9+10$?