MetaMath '25

\textbf{\textit{Primjer 1.}} Odredimo zatvorenu formu sume \[ S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}. \] \textbf{\textit{Rješenje.}} Kao što smo rekli ideja teleskopiranja je da članove sume izrazimo preko članova nekog drugog niza. Kada su u pitanju razlomci, u kojima je nazivnik umnožak brojeva, možemo do toga niza doći zapisom parcijalnih razlomaka. Razmotrimo razlomak \[ \frac{1}{k(k+1)}. \] Ovdje nazivnik ima dva linearna faktora, pa pokušavamo napisati \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}, \] gdje su $A$ i $B$ konstante koje treba odrediti. Množenjem s $k(k+1)$ dobivamo \[ 1 = A(k+1) + Bk = (A+B)k+A. \] Sada, usporedbom koeficijenata: \[ A + B = 0, \quad A = 1 \;\;\Rightarrow\;\; A=1, B=-1. \] Dakle vrijedi \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}. \] Uvrštavanjem u početnu sumu dobivamo \[ S = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 1-\frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}. \] Za nastavak upiši 2025.