MetaMath '25

\textbf{\textit{Primjer 1.}} Izvedimo formulu za sumu prvih $n$ prirodnih brojeva, tj. izrazimo \[ \sum_{k=1}^{n} k \] u zatvorenom obliku. \textbf{\textit{Rješenje.}} U prvom primjeru smo vidjeli rješenje pomoću Gaussove dosjetke, a sada pokazujemo kako teleskopiranjem dolazimo do tražene formule. Potražimo takav niz $\{a_k\}$ da vrijedi \[ \sum_{k=1}^{n} k=\sum_{k=1}^{n} (a_k-a_{k-1}). \] Ako uzmemo \[ a_k=\frac{k(k+1)}{2}, \] onda je jednostavnom računicom \[ a_k-a_{k-1}=\frac{k(k+1)}{2}-\frac{(k-1)k}{2}=k. \] Stoga suma teleskopira: \[ \sum_{k=1}^{n} k=\sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1})=a_n-a_0=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{0\cdot1}{2}=\boxed{\frac{n(n+1)}{2}}. \] Za nastavak upiši 2025.