MetaMath '25

\textbf{\textit{Primjer 1.}} Pokažimo da za svaki $n\in\mathbb N$ vrijedi nejednakost \[\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > 2\bigl(\sqrt{n+1}-1\bigr).\] \textbf{\textit{Rješenje.}} Za svaki \(x>0\) vrijedi nejednakost \[ \frac{1}{\sqrt{x}}>2\bigl(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\bigr). \] Racionaliziramo desni član: \[ \sqrt{x+1}-\sqrt{x} =\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} =\frac{x+1-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} =\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}. \] Stoga je nejednakost ekvivalentna \[ \frac{1}{\sqrt{x}}>\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}. \] Množenjem s pozitivnim brojevima \(\sqrt{x}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})\) dobivamo \[ \sqrt{x+1}+\sqrt{x}>2\sqrt{x} \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{x+1}>\sqrt{x}, \] što je očito točno za \(x>0\) jer je funkcija \(t\mapsto\sqrt{t}\) strogo rastuća. \textbf{Posljedica.} Zbrajanjem nejednakosti za brojeve \(x=1,2,\dots,n\) dobivamo: \[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > 2\sum_{k=1}^n \bigl(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\bigr) = 2\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{1}\bigr) = 2\bigl(\sqrt{n+1}-1\bigr). \] Tako je, za svaki \(n\in\mathbb{N}\), \[ \boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} > 2\bigl(\sqrt{n+1}-1\bigr).} \] Za nastavak upiši 2025.