MetaMath '25 - Školjka

Vrijeme: 17:23

Uvod

Za početak ćemo vidjeti neke bitne teoreme i definicije koje će nam trebati ovaj tjedan kako bismo mogli riješiti zadatke:

Osnovna pravila o djeljivosti

Idemo ponoviti neka osnovna pravila o djeljivosti pojedinim brojevima koji uključuju znamenke: $\begin{itemize} \item Broj je djeljiv s 2 ako mu je zadnja znamenka parna \item Broj je djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3 \item Broj je djeljiv s 4 ako su mu zadnje dvije znamenke djeljive s 4 \item Broj je djeljiv s 5 ako mu je zadnja znamenka 0 ili 5 \item Broj je djeljiv s 8 ako su mu zadnje tri znamenke djeljive s 8 \item Broj je djeljiv s 9 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 9 \item Broj je djeljiv s 11 ako mu je razlika zbroja znamenaka na parnim i zbroja znamenaka na neparnim mjestima djeljiva s 11. \end{itemize}$

Zapis broja u bazi $\bf{b}$

$n$ -teroznamenkasti broj $\overline{a_n a_{n-1} \ldots a_2 a_1}$ u bazi b pišemo kao $(\overline{a_n a_{n-1} \ldots a_2 a_1})_b$ što je jednako sumi $a_n \cdot b^{n-1} + \ldots + a_{k} \cdot b^{k-1} + \ldots + a_3 \cdot b^2 + a_2 \cdot b + a_1$ gdje su $a_1, a_2, \dots a_n < b$ i $a_n \neq 0$ .

Kongruencije

Kažemo da je $a$ kongruentno s $b$ modulo $n$ ako vrijedi $n \mid a - b$ , odnosno ako $a$ i $b$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $n$ .

Idemo sada nešto reći o zadatcima sa znamenkama. Mogli bismo ih karakterizirati u dva tipa: $\begin{itemize} \item Zadatci koji su zahtijevaju više znanja iz područje teorije brojeva \item Zadatci koji zahtijevaju više kombinatornih vještina. \end{itemize}$ Ovaj tjedan naići ćeš na oba tipa zadatka, ali i zadatke koji zahtijevaju znanje i vještine iz oba područja (ipak fokus će biti više na onima vezanim uz teoriju brojeva jer ipak je to područje koje se obrađuje ovaj tjedan). Zadatci sa znamenkama se pojavljuju od školskih pa sve do državnih natjecanja. Ovdje ćeš naučiti kako se nositi sa različitim tipovima takvih zadataka kako bi se pripremio za njihovo uspješno rješavanje, ako ove godine susretneš koji na natjecanju. Prije nego što krenemo dalje, ako nisi upoznat s pojmom kongruencije, baci pogled na ovo predavanje S time, krenimo na prvi primjer! Sretno!

Upiši 1 za rješenje.

Za početak ćemo vidjeti neke bitne teoreme i definicije koje će nam trebati ovaj tjedan kako bismo mogli riješiti zadatke: \textbf{Osnovna pravila o djeljivosti} Idemo ponoviti neka osnovna pravila o djeljivosti pojedinim brojevima koji uključuju znamenke: \begin{itemize} \item Broj je djeljiv s 2 ako mu je zadnja znamenka parna \item Broj je djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3 \item Broj je djeljiv s 4 ako su mu zadnje dvije znamenke djeljive s 4 \item Broj je djeljiv s 5 ako mu je zadnja znamenka 0 ili 5 \item Broj je djeljiv s 8 ako su mu zadnje tri znamenke djeljive s 8 \item Broj je djeljiv s 9 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 9 \item Broj je djeljiv s 11 ako mu je razlika zbroja znamenaka na parnim i zbroja znamenaka na neparnim mjestima djeljiva s 11. \end{itemize} \\ \textbf{Zapis broja u bazi }$\bf{b}$ $n$ -teroznamenkasti broj $\overline{a_n a_{n-1} \ldots a_2 a_1}$ u bazi b pišemo kao $(\overline{a_n a_{n-1} \ldots a_2 a_1})_b$ što je jednako sumi $a_n \cdot b^{n-1} + \ldots + a_{k} \cdot b^{k-1} + \ldots + a_3 \cdot b^2 + a_2 \cdot b + a_1$ gdje su $a_1, a_2, \dots a_n < b$ i $a_n \neq 0$. \textbf{Kongruencije} Kažemo da je $a$ kongruentno s $b$ modulo $n$ ako vrijedi $n \mid a - b$, odnosno ako $a$ i $b$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $n$. Idemo sada nešto reći o zadatcima sa znamenkama. Mogli bismo ih karakterizirati u dva tipa: \begin{itemize} \item Zadatci koji su zahtijevaju više znanja iz područje teorije brojeva \item Zadatci koji zahtijevaju više kombinatornih vještina. \end{itemize} Ovaj tjedan naići ćeš na oba tipa zadatka, ali i zadatke koji zahtijevaju znanje i vještine iz oba područja (ipak fokus će biti više na onima vezanim uz teoriju brojeva jer ipak je to područje koje se obrađuje ovaj tjedan). Zadatci sa znamenkama se pojavljuju od školskih pa sve do državnih natjecanja. Ovdje ćeš naučiti kako se nositi sa različitim tipovima takvih zadataka kako bi se pripremio za njihovo uspješno rješavanje, ako ove godine susretneš koji na natjecanju. Prije nego što krenemo dalje, ako nisi upoznat s pojmom kongruencije, baci pogled na ovo \href{https://mnm.hr/wp-content/uploads/2015/10/kongruencije.pdf}{predavanje} S time, krenimo na prvi primjer! Sretno! Upiši 1 za rješenje.