MetaMath '25

Odredi sve peteroznamenkaste brojeve oblika $\overline{a3b2c}$ koji su djeljivi 45 Vidimo da je $45=5\cdot 9$. Ovo znači da znamenka $c$ mora biti ili 0 ili 5. Podijelimo u dva slučaja: 1) $c=0$ Sada je traženi broj $\overline{a3b20}$. Znamo da zbog pravila o djeljivosti s 9 mora vrijediti $a+b+5=9k$. S obzirom na to da su $a,b \in{0,1,...,9}$ očito je da to znači da je ili $a+b=4$ ili $a+b=13$ što možemo opet podijeliti u dva slučaja. \begin{itemize} \item $a+b=4$ nam daje $(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)$(nemoj zaboraviti da $a$ mora bit različit od $0$) \item $a+b=13$ što nam daje $(4,9),(5,8),(6,7),(7,6),(8,5),(9,4)$ \end{itemize} 2)$c=5$ Sada je traženi broj $\overline{a3b25}$. Sličnom metodom kao i prije dobivamo $a+b+10=9k$ Što znači da je ili $a+b=8$ ili $a+b=17$. Što opet podijelimo u dva slučaja. \begin{itemize} \item $a+b=8$ što nam daje $(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1),(8,0)$ \item $a+b=17$ što nam daje $(8,9),(9,8)$ \end{itemize} Ukupno imamo $20$ rješenja. Kao odgovor napiši $2$.