Dokaži da je broj čiji se zapis sastoji od 
jedinica djeljiv brojem .
Ovdje ćemo poopćiti traženu tvrdnju i pokazati da je broj koji se sastoji od 
jedinica djeljiv brojem . Ovo ćemo učiniti metodom indukcije.Možda te zanima kako smo ovdje primijetili da ćemo trebati indukciju?. Možda je malo neintuitivno što smo prešli s ovako konkretnog slučaja na opći slučaj, no motivacija za to bi nam bila igranje sa malim slučajevima. Znamo da je broj s 
jedinice djeljiv , a po pravilu dijeljenja s 
, znamo da je broj s jedinica djeljiv s . je jako velik broj pa ići nešto direktno analizirati na njemu bi bilo jako zahtjevno. Zato nakon poigravanja s malim slučajevima i shavaćenjem da ne možemo baš operirati na ovako velikom broju, prebacujemo se na indukciju.
Za 
tvrdnja vrijedi, jer je 
.
Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki 
, tj. da je broj 
djeljiv brojem
Pokažimo sad da je 
djeljiv s 
Vidimo da ovaj broj možemo napisati kao 
Prvi broj koji dijeli ovaj umnožak je po našoj pretpostavci djeljiv brojem , a drugi faktor ovog umnoška je djeljiv brojem . Iz toga slijedi da smo dokazali ono što smo htjeli.
Izvedba koraka je isto možda malo neintuitivna, ali znamo da ako želimo pokazati da za broj s jedinica vrijedi to svojstvo, moramo ga prikazati kao umnožak broja s jedinica i nečega što se nadamo da je djeljivo s . Ideju kako bi trebao izgledati taj drugi broj možeš dobiti tako da opet pogledaš slučaj broja s jedinica i pokušaš ga podijeliti s brojem koji ima jedinice (malo naporno znam, ali zato na natjecanju imate 3-4 sata).
Tako sad možemo reći da je uistinu broj koji ima jedinica djeljiv s brojem .
Upiši za rješenje 4.
Dokaži da je broj čiji se zapis sastoji od $3^{2025}$ jedinica djeljiv brojem $3^{2025}$.
Ovdje ćemo poopćiti traženu tvrdnju i pokazati da je broj koji se sastoji od $3^n$ jedinica djeljiv brojem $3^n$. Ovo ćemo učiniti metodom indukcije.Možda te zanima kako smo ovdje primijetili da ćemo trebati indukciju?. Možda je malo neintuitivno što smo prešli s ovako konkretnog slučaja na opći slučaj, no motivacija za to bi nam bila igranje sa malim slučajevima. Znamo da je broj s $3$ jedinice djeljiv $3$, a po pravilu dijeljenja s $9$, znamo da je broj s $9$ jedinica djeljiv s $9$. $3^{2025}$ je jako velik broj pa ići nešto direktno analizirati na njemu bi bilo jako zahtjevno. Zato nakon poigravanja s malim slučajevima i shavaćenjem da ne možemo baš operirati na ovako velikom broju, prebacujemo se na indukciju.
Za $n=1$ tvrdnja vrijedi, jer je $111=3\cdot37$.
Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki $k \in N$, tj. da je broj $\underbrace{111...11}_{3^n znamenaka}$ djeljiv brojem $3^n$
Pokažimo sad da je $\underbrace{111...11}_{3^{n+1} znamenaka}$ djeljiv s $3^{n+1}$
Vidimo da ovaj broj možemo napisati kao $$\underbrace{111...11}_{3^{n+1} znamenaka}=\underbrace{111...11}_{3^n znamenaka}\cdot 1\underbrace{00...01}_{3^n}\underbrace{00...01}_{3^n}$$
Prvi broj koji dijeli ovaj umnožak je po našoj pretpostavci djeljiv brojem $3^n$, a drugi faktor ovog umnoška je djeljiv brojem $3$. Iz toga slijedi da smo dokazali ono što smo htjeli.
Izvedba koraka je isto možda malo neintuitivna, ali znamo da ako želimo pokazati da za broj s $3^{n+1}$ jedinica vrijedi to svojstvo, moramo ga prikazati kao umnožak broja s $3^n$ jedinica i nečega što se nadamo da je djeljivo s $3$. Ideju kako bi trebao izgledati taj drugi broj možeš dobiti tako da opet pogledaš slučaj broja s $9$ jedinica i pokušaš ga podijeliti s brojem koji ima $3$ jedinice (malo naporno znam, ali zato na natjecanju imate 3-4 sata).
Tako sad možemo reći da je uistinu broj koji ima $3^{2025}$ jedinica djeljiv s brojem $3^{2025}$.
Upiši za rješenje 4.
