MetaMath '25 - Školjka

Vrijeme: 17:22

4. primjer

Promotrimo sve parove $(a,b)$ prirodnih brojeva takvih da umnožak $a^a b^b$ završava s $98$ nula u dekadskom zapisu. Nađi brojeve $a,b$ takav da je umnožak $ab$ minimalan.

Ovaj sljedeći primjer bit će malo izazovniji, ali isplati se proći kroz njega kako bismo uvidjeli neke ideje iz teorije brojeva koje pomažu pri rješavanju ovakvih zadataka.

Neka je $a_{2}$ najveći cijeli broj tako da $2^{a_{2}}|a$ . Slično definiraj i $a_{5},b_{2},b_{5}$ . Uvođenjem ovih oznaka sada možemo malo drugačije postaviti zadatak i olakšati si posao. Naš problem je ekvivalentan s: Nađimo $a$ i $b$ tako da je $\min{(aa_{2}+bb_{2},aa_{5}+bb_{5})}=98$ i da je umnožak $ab$ minimalan. Ove oznake smo uveli jer znamo da ako imamo nule na kraju broja, onda zapravo pričamo o tome koja je najveća potencija broja 10 koja dijeli taj broj. Znamo da je to $10^{98}$ pa znamo da imamo točno ili $98$ puta broj $2$ u umnošku ili broj $5$ . To zapisujemo kao da tražimo minimum od to dvoje iliti $\min{(aa_{2}+bb_{2},aa_{5}+bb_{5})}=98$ . Idemo dalje.

Odmah primjećujemo korisnu činjenicu da $5|aa_{5}+bb_{5}$ i zato taj izraz sigurno nije jednak $98$ . Ovo vrijedi jer ili su $a$ i $b$ oba djeljiva $5$ ili jedan nije djeljiv 5, ali onda je $a_5=0$ . To znači da je $aa_{2}+bb_{2}=98$ . Primjetimo sad da ako $5|gcd(a,b)$ (ovdje $gcd(a,b)$ označuje najveći zajednički djelitelj / greatest common divisor brojeva $a$ i $b$ ) da onda $5|aa_{2}+bb_{2}$ (jer su oba djeljiva $5$ ) što nas dovodi do kontradikcije. To znači da je ili $a_{5}=0$ ili $b_{5}=0$ . Bez smanjenja općenitosti neka vrijedi ovo drugo i neka je onda $a_{5}\geq1$ . Neka je sad $a=2^{a_{2}}5^{a_{5}}x$ i $b=2^{b_{2}}y$ gdje vrijedi $gcd(2, x) =gcd(5, x) = gcd(2, y) = 1.$ . Iz $\min{(aa_{2}+bb_{2},aa_{5}+bb_{5})}=98$ i naše analize slijedi $aa_{5}=a_{5}2^{a_{2}}5^{a_{5}}x>98$ i analogno $aa_{2}=a_{2}2^{a_{2}}5^{a_{5}}x\leq98$ iz čega slijedi $a_{5}>a_{2}$ . Sada smo spremni završiti zadatak podjelom u dva slučaja:

1) $a_{2}=0$ . Onda je $b_{2}(2^{b_{2}} y) = 98$ . Iz čega slijedi $b_{2}=1, y=49, b=98$ . Za $a$ znamo da je $a_{5}(5^{a_{5}}x)>98$ . Tako da ako je $a_{5}\geq3$ onda je $a\geq125$ . Ako je $a_{5}=2$ onda je $x\geq3$ i $a\geq75$ . ako je $a_{5}=1$ onda je $x\geq21$ i $a\geq105$ . Znači, ovdje nam je minimalan produkt za $b=98$ i $a=75$ .

2) $a_{2}\geq1$ . Tada je $a_{5}\geq2$ . Znamo da treba vrijediti $a_{2}(2^{a_{2}}5^{a_{5}}x)\leq98$ tj. $5^{a_{5}}x\leq49$ . To znači $a_{5}=2$ i $x=1$ te $a=50$ (inače bi bilo preveliko). Onda mora biti $b_{2}b=48$ iliti $b_{2}(2^{b_{2}}y)=48$ što lakom analizom vidimo da je nemoguće (nemoj zaboraviti $gcd(2,y)=1$ ).

Znači traženi parovi su $(a,b)=(98,75),(75,98)$ .

Preporučio bih ti da uzmeš olovku i papir i prođeš još jednom kroz dokaz ako ti nije skroz jasan i pokušaj stati i razmisliti na svakom koraku na kojem imaš nedoumica što smo tu napravili i kako nam to pomaže za dalje. Ovdje ću još napomenuti da ako si zapeo/la na nekom zadatku i trebaš pomoć, slobodno možeš tražiti hint ili reći do kud si došao/la i pitati kako da nastaviš. Pokušat ću ti odgovoriti što prije moguće i pomoći ti da uspješno nastaviš dalje.

Naravno, htio bih te zamoliti da rješenja šalješ kao što si i do sad ih slao/la i da se ne bojiš poslati parcijalna rješenja jer ona isto nose bodove! Sretno sa rješavanjem i nadam se da će ti se svidjeti zadatci!

Kao odgovor napiši $5$ .

Promotrimo sve parove $(a,b)$ prirodnih brojeva takvih da umnožak $a^a b^b$ završava s $98$ nula u dekadskom zapisu. Nađi brojeve $a,b$ takav da je umnožak $ab$ minimalan. Ovaj sljedeći primjer bit će malo izazovniji, ali isplati se proći kroz njega kako bismo uvidjeli neke ideje iz teorije brojeva koje pomažu pri rješavanju ovakvih zadataka. Neka je $a_{2}$ najveći cijeli broj tako da $2^{a_{2}}|a$. Slično definiraj i $a_{5},b_{2},b_{5}$. Uvođenjem ovih oznaka sada možemo malo drugačije postaviti zadatak i olakšati si posao. Naš problem je ekvivalentan s: Nađimo $a$ i $b$ tako da je $\min{(aa_{2}+bb_{2},aa_{5}+bb_{5})}=98$ i da je umnožak $ab$ minimalan. Ove oznake smo uveli jer znamo da ako imamo nule na kraju broja, onda zapravo pričamo o tome koja je najveća potencija broja 10 koja dijeli taj broj. Znamo da je to $10^{98}$ pa znamo da imamo točno ili $98$ puta broj $2$ u umnošku ili broj $5$. To zapisujemo kao da tražimo minimum od to dvoje iliti $\min{(aa_{2}+bb_{2},aa_{5}+bb_{5})}=98$. Idemo dalje. Odmah primjećujemo korisnu činjenicu da $5|aa_{5}+bb_{5}$ i zato taj izraz sigurno nije jednak $98$. Ovo vrijedi jer ili su $a$ i $b$ oba djeljiva $5$ ili jedan nije djeljiv 5, ali onda je $a_5=0$. To znači da je $aa_{2}+bb_{2}=98$. Primjetimo sad da ako $5|gcd(a,b)$ (ovdje $gcd(a,b)$ označuje najveći zajednički djelitelj / greatest common divisor brojeva $a$ i $b$) da onda $5|aa_{2}+bb_{2}$ (jer su oba djeljiva $5$) što nas dovodi do kontradikcije. To znači da je ili $a_{5}=0$ ili $b_{5}=0$. Bez smanjenja općenitosti neka vrijedi ovo drugo i neka je onda $a_{5}\geq1$. Neka je sad $a=2^{a_{2}}5^{a_{5}}x$ i $b=2^{b_{2}}y$ gdje vrijedi $gcd(2, x) =gcd(5, x) = gcd(2, y) = 1.$. Iz $\min{(aa_{2}+bb_{2},aa_{5}+bb_{5})}=98$ i naše analize slijedi $aa_{5}=a_{5}2^{a_{2}}5^{a_{5}}x>98$ i analogno $aa_{2}=a_{2}2^{a_{2}}5^{a_{5}}x\leq98$ iz čega slijedi $a_{5}>a_{2}$. Sada smo spremni završiti zadatak podjelom u dva slučaja: 1) $a_{2}=0$. Onda je $b_{2}(2^{b_{2}} y) = 98$. Iz čega slijedi $b_{2}=1, y=49, b=98$. Za $a$ znamo da je $a_{5}(5^{a_{5}}x)>98$. Tako da ako je $a_{5}\geq3$ onda je $a\geq125$. Ako je $a_{5}=2$ onda je $x\geq3$ i $a\geq75$. ako je $a_{5}=1$ onda je $x\geq21$ i $a\geq105$. Znači, ovdje nam je minimalan produkt za $ b=98$ i $a=75$. 2)$a_{2}\geq1$. Tada je $a_{5}\geq2$. Znamo da treba vrijediti $a_{2}(2^{a_{2}}5^{a_{5}}x)\leq98$ tj. $5^{a_{5}}x\leq49$. To znači $a_{5}=2$ i $x=1$ te $a=50$ (inače bi bilo preveliko). Onda mora biti $b_{2}b=48$ iliti $b_{2}(2^{b_{2}}y)=48$ što lakom analizom vidimo da je nemoguće (nemoj zaboraviti $gcd(2,y)=1$). Znači traženi parovi su $(a,b)=(98,75),(75,98)$. Preporučio bih ti da uzmeš olovku i papir i prođeš još jednom kroz dokaz ako ti nije skroz jasan i pokušaj stati i razmisliti na svakom koraku na kojem imaš nedoumica što smo tu napravili i kako nam to pomaže za dalje. Ovdje ću još napomenuti da ako si zapeo/la na nekom zadatku i trebaš pomoć, slobodno možeš tražiti hint ili reći do kud si došao/la i pitati kako da nastaviš. Pokušat ću ti odgovoriti što prije moguće i pomoći ti da uspješno nastaviš dalje. Naravno, htio bih te zamoliti da rješenja šalješ kao što si i do sad ih slao/la i da se ne bojiš poslati parcijalna rješenja jer ona isto nose bodove! Sretno sa rješavanjem i nadam se da će ti se svidjeti zadatci! Kao odgovor napiši $5$.