Primjer Na hrpi je sto kamenčića. Ana i Borna igraju sljedeću igru: U svakom koraku igrač koji je na redu s hrpe uzima najmanje jedan, a najviše šest kamenčića. Pobjeđuje onaj igrač koji uzme zadnji kamenčić s hrpe. Tko ima pobjedničku strategiju?
Ovdje, kao i u nastavku, uvijek podrazumijevamo da prvi navedeni igrač igra prvi.
Rješenje Primijetimo da ovu igru možemo igrati započevši s bilo kojim brojem kamenčića. To nas potiče da analiziramo situaciju u igri ovisno o broju kamenčića. Ako je na stolu ostalo nula kamenčića, igrač koji je na potezu je izgubio, te možemo reći da je takva pozicija izgubljena, odnosno "gubitnička". Idući korak dalje, primijećujemo da ako je na stolu ostalo između jedan i šest kamenčića, igrač koji je na potezu može uzeti sve preostale kamenčiće i pobijediti. Takva pozicija je pobjednička. Idući dalje, vidimo da je pozicija sa sedam kamenčića gubitnička, pozicija sa 8-13 kamenčića pobjednička itd.
Općenito, možemo pobjedničke i gubitničke pozicije okarakterizirati na sljedeći način. 
Ako nađemo podjelu koja zadovoljava ova svojstva, "riješili" smo igru. Vratimo se sada na našu igru. Možemo primijetiti da su pozicije u kojima je broj kamenčića djeljiv sa 
gubitničke, a pozicije u kojima nije djeljiv sa pobjedničke. Provjerimo da je zaista tako.
Intuitivno: Pobjednik uvijek može protivniku "namjestiti" gubitničku poziciju, a gubitnik će uvijek pobjedniku "pružiti" pobjedničku poziciju. To znači da, kad god igra počinje iz pobjedničke pozicije, igrač koji je prvi na potezu ima pobjedničku strategiju. Ako igra počinje iz gubitničke pozicije, drugi igrač ima pobjedničku strategiju.
Iz naše analize slijedi da je 100 pobjednička pozicija, dakle igrač koji je prvi na potezu uvijek ima pobjedničku strategiju.
Za nastavak napišite prvu gubitničku poziciju veću od 100.
\textbf{Primjer}
Na hrpi je sto kamenčića. Ana i Borna igraju sljedeću igru: U svakom koraku igrač koji je na redu s hrpe uzima najmanje jedan, a najviše šest kamenčića. Pobjeđuje onaj igrač koji uzme zadnji kamenčić s hrpe. Tko ima pobjedničku strategiju?
Ovdje, kao i u nastavku, uvijek podrazumijevamo da prvi navedeni igrač igra prvi.
\textbf{Rješenje}
Primijetimo da ovu igru možemo igrati započevši s bilo kojim brojem kamenčića. To nas potiče da analiziramo situaciju u igri ovisno o broju kamenčića. Ako je na stolu ostalo nula kamenčića, igrač koji je na potezu je izgubio, te možemo reći da je takva pozicija izgubljena, odnosno "gubitnička". Idući korak dalje, primijećujemo da ako je na stolu ostalo između jedan i šest kamenčića, igrač koji je na potezu može uzeti sve preostale kamenčiće i pobijediti. Takva pozicija je pobjednička. Idući dalje, vidimo da je pozicija sa sedam kamenčića gubitnička, pozicija sa 8-13 kamenčića pobjednička itd.
Općenito, možemo pobjedničke i gubitničke pozicije okarakterizirati na sljedeći način.
\begin{itemize}
\item Ako je igrač na potezu već izgubio, trenutna pozicija je gubitnička.
\item Ako se iz trenutne pozicije može doći do neke gubitničke, pozicija je pobjednička.
\item Ako se iz trenutne pozicije može doći samo u pobjedničke pozicije, pozicija je gubitnička.
\end{itemize}
Ako nađemo podjelu koja zadovoljava ova svojstva, "riješili" smo igru. Vratimo se sada na našu igru. Možemo primijetiti da su pozicije u kojima je broj kamenčića djeljiv sa $7$ gubitničke, a pozicije u kojima nije djeljiv sa $7$ pobjedničke. Provjerimo da je zaista tako.
\begin{itemize}
\item Pozicija $0$ je gubitnička jer $7$ dijeli $0$.
\item Ako trenutni broj kamenčića nije djeljiv sa $7$, to znači da daje neki ostatak između $1$ i $6$ pri dijeljenju sa $7$. Oduzimanjem tog ostatka, iz svake takve pozicije može se doći do neke pozicije u kojoj je broj kamenčića djeljiv sa $7$, tj. do neke gubitničke pozicije.
\item Ako je trenutni broj kamenčića djeljiv sa $7$, micanjem nekog broja kamenčića ($1$-$6$) uvijek ćemo doći do broja kamenčića koji nije djeljiv sa $7$, tj. do pobjedničke pozicije. Dakle, takva pozicija je gubitnička.
\end{itemize}
Intuitivno: Pobjednik uvijek može protivniku "namjestiti" gubitničku poziciju, a gubitnik će uvijek pobjedniku "pružiti" pobjedničku poziciju. To znači da, kad god igra počinje iz pobjedničke pozicije, igrač koji je prvi na potezu ima pobjedničku strategiju. Ako igra počinje iz gubitničke pozicije, drugi igrač ima pobjedničku strategiju.
Iz naše analize slijedi da je 100 pobjednička pozicija, dakle igrač koji je prvi na potezu uvijek ima pobjedničku strategiju.
Za nastavak napišite prvu gubitničku poziciju veću od 100.
