MetaMath '25

Naš tjedan započinjemo dokazivanjem \textbf{Poučka o simetrali kuta}. Ovaj se poučak jako često koristi u natjecateljskim zadacima! \textbf{Poučak o simetrali kuta:} Simetrala kuta dijeli nasuprotnu stranicu u omjeru preostalih stranica. \\ \begin{center} \includegraphics[scale = 0.5]{P11.png}\\ \emph{Želimo dokazati da $\frac{|AD|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|BC|}$} \end{center} \textbf{Rješenje: } U zadacima u kojima se pojavljuje omjer dužina najčešće ćemo pronaći slične trokute ili direktno primijeniti Talesov poučak o proporcionalnosti. Na skici trenutno nema ni sličnih trokuta ni paralelnih pravaca - trebamo nešto dodati. Kako nas tvrdnja ovog zadatka podsjeća na Talesov poučak o proporcionalnosti, pokušat ćemo ga "namjestiti" tako što produžimo stranicu $AC$ i dodamo točku $E\in AC$ kao na slici tako da je $|CE| = |BC|$. \\ \begin{center} \includegraphics[scale = 0.5]{P12.png}\\ \end{center} Kad bismo dokazali da su $DC$ i $BE$ paralelni, po Talesovom poučku o proporcionalnosti imali bismo upravo $\frac{|AD|}{|BD|}=\frac{|AC|}{|CE|}$. Kako je po konstrukciji $|CE| = |BC|$, bili bismo gotovi. \\ $DC||BE$ ćemo dokazati tako što dokažemo da su $\angle DCB$ i $\angle CBE$ protokuti, odnosno $|\angle DCB| = |\angle CBE|$. \\ Neka je $\alpha = |\angle DCB|$. $\alpha = |\angle ACD|$ jer je $CD$ simetrala kuta. Tada je $|\angle BCE| = 180^\circ - |\angle DCB| - |\angle ACD| = 180^\circ - 2\alpha$. Kako je po konstrukciji $\triangle BCE$ jednakokračan, znamo da je $|\angle CBE| = \frac{180^\circ - (180^\circ - 2\alpha)}2 = \alpha$, čime je tvrdnja dokazana. --------------------------------------------------------------------------- Kao rješenje nadopunite rečenicu: Tvrdnja "Ovi trokuti su sukladni." na engleskom glasi "These triangles are _________.".