MetaMath '25 - Školjka

Vrijeme: 17:26

Sukladnost i sličnost - Primjer 2

Kako bismo vidjeli kako se sukladnost i sličnost pojavljuju na natjecanju, zajedno ćemo riješiti ovu zanimljivu geometriju sa županijskog natjecanja 2017. godine.

Zadatak: Točke $M$ i $N$ se nalaze redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ kvadrata $ABCD$ tako da je $|\angle BMA| = |\angle NMC| = 60^{\circ}$ . Odredi kut $\angle MAN$ .

$Attachment P21.png$

Rješenje: Imamo puno pravih kuteva i kuteva mjere $60^\circ$ , te jako puno sukladnih dužina. To nam se sviđa - u igri je puno sukladnih i sličnih trokuta. Pa ipak, najvažniji trokut $\triangle MAN$ čiji bismo kut htjeli saznati na neki način "strši". Kako nije pravokutan, nećemo moći iskoristiti sukladnosti dobivene iz okolnih trokuta.
Ideja nam je podijeliti ga na $2$ pravokutna trokuta povlačenjem visine. Koju visinu povući?

$Attachment P22.png$

Prva opcija nam se nikako ne sviđa zato što dijeli kut čiju veličinu znamo na $2$ dijela. Druga opcija je nešto bolja, no za oko nam najviše zapinje treća opcija.
Kako je $\angle BAM = \angle TAM$ , pravokutni trokuti $\triangle TAM$ i $\triangle BAM$ sukladni su po KSK poučku o sukladnosti. Kad bi i $\triangle TAN \cong \triangle DAN$ , vrijedilo bi $|\angle MAN| = \frac 12 ^\cdot 90^\circ = 45^\circ$ .

$Attachment P23.png$

Trokuti $\triangle TAN$ i $\triangle DAN$ imaju zajedničku hipotenuzu nasuprot koje oba imaju pravi kut. Kad bismo dobili jednakost jednog para stranica, bili bismo gotovi.
Kako $|AB| = |AT|$ iz sukladnosti trokuta $\triangle TAM$ i $\triangle BAM$ , te $|AB| = |AD|$ jer je $ABCD$ kvadrat, zaključujemo $|AT| = |AD|$ . Zato su trokuti $\triangle TAN$ i $\triangle DAN$ sukladni po poučku $SSK^>$ , čime smo dokazali da je $|\angle MAN| = 45^\circ$ .

------------------------------------------------------------------------

Za rješenje upišite riječ koja paše u sve 3 rečenice:
Tales iz _____ bio je grčki matematičar koji je prvi formulirao poučak KSK. Zanimljiva je činjenica da bi na natjecanju dobio nula bodova za dokaz vlastitog poučka! Naime, princip je provjerio na mnogo primjera, što je smatrao dovoljnim kao dokaz da pravilo vrijedi univerzalno. Pravi je dokaz kasnije dao Euklid u svojim Elementima.
______ je uspješna češka kompanija koja proizvodi rupčiće, tkanine za košulje i batist.
Traktor _____ vozi četiri pileta.

Kako bismo vidjeli kako se sukladnost i sličnost pojavljuju na natjecanju, zajedno ćemo riješiti ovu zanimljivu geometriju sa županijskog natjecanja 2017. godine. \textbf{Zadatak:} Točke $M$ i $N$ se nalaze redom na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ kvadrata $ABCD$ tako da je $|\angle BMA| = |\angle NMC| = 60^{\circ}$. Odredi kut $\angle MAN$. \begin{center} \includegraphics[scale = 0.5]{P21.png} \end{center} \textbf{Rješenje:} Imamo puno pravih kuteva i kuteva mjere $60^\circ$, te jako puno sukladnih dužina. To nam se sviđa - u igri je puno sukladnih i sličnih trokuta. Pa ipak, najvažniji trokut $\triangle MAN$ čiji bismo kut htjeli saznati na neki način "strši". Kako nije pravokutan, nećemo moći iskoristiti sukladnosti dobivene iz okolnih trokuta. \\ Ideja nam je podijeliti ga na $2$ pravokutna trokuta {povlačenjem visine}. Koju visinu povući? \\ \begin{center} \includegraphics{P22.png} \end{center} Prva opcija nam se nikako ne sviđa zato što dijeli kut čiju veličinu znamo na $2$ dijela. Druga opcija je nešto bolja, no za oko nam najviše zapinje treća opcija. \\ Kako je $\angle BAM = \angle TAM$, pravokutni trokuti $\triangle TAM$ i $\triangle BAM$ sukladni su po KSK poučku o sukladnosti. Kad bi i $\triangle TAN \cong \triangle DAN$, vrijedilo bi $|\angle MAN| = \frac 12 ^\cdot 90^\circ = 45^\circ$. \\ \begin{center} \includegraphics[scale = 0.5]{P23.png} \end{center} Trokuti $\triangle TAN$ i $\triangle DAN$ imaju zajedničku hipotenuzu nasuprot koje oba imaju pravi kut. Kad bismo dobili jednakost jednog para stranica, bili bismo gotovi.\\ Kako $|AB| = |AT|$ iz sukladnosti trokuta $\triangle TAM$ i $\triangle BAM$, te $|AB| = |AD|$ jer je $ABCD$ kvadrat, zaključujemo $|AT| = |AD|$. Zato su trokuti $\triangle TAN$ i $\triangle DAN$ sukladni po poučku $SSK^>$, čime smo dokazali da je $|\angle MAN| = 45^\circ$. ------------------------------------------------------------------------ Za rješenje upišite riječ koja paše u sve 3 rečenice: \\ Tales iz _____ bio je grčki matematičar koji je prvi formulirao poučak KSK. Zanimljiva je činjenica da bi na natjecanju dobio nula bodova za dokaz vlastitog poučka! Naime, princip je provjerio na mnogo primjera, što je smatrao dovoljnim kao dokaz da pravilo vrijedi univerzalno. Pravi je dokaz kasnije dao Euklid u svojim Elementima. \\ ______ je uspješna češka kompanija koja proizvodi rupčiće, tkanine za košulje i batist. \\ Traktor _____ vozi četiri pileta.