MetaMath '25 - Školjka

Vrijeme: 17:26

Sukladnost i sličnost - Primjer 3

Za kraj ćemo zajedno riješiti geometriju koja se pojavila na prošlogodišnjem državnom natjecanju!

Zadatak: Dan je jednakostranični trokut $ABC$ . Dužina $AD$ siječe stranicu $BC$ u točki $E$ , a pritom je $\angle BAD = 20^\circ \quad \text{i} \quad |DE| = |AB|.$ Odredi $\angle ADB$ .

Rješenje: Nacrtamo li lijepu skicu, primjećujemo nešto stvarno zanimljivo: trokut $\triangle ADB$ izgleda jednakokračan! Očekujemo odgovor $|\angle ADB| = 20^\circ$ .

$Attachment P31.png$

Zato dobijamo ideju dodati točku $F$ na $AD$ tako da je $\triangle ABF$ jednakokračan. Ideja je koristeći jednakokračnost trokuta $\triangle ABF$ dobiti jednakokračnost trokuta $\triangle EDB$ . Primijetimo trokut $\triangle BEF$ : kako je $|\angle BFE| = |\angle BFA| = 80^\circ$ , te $|\angle BED| = 80^\circ$ , on je svakako jednakokračan.

$Attachment P32.png$

No tada trokuti $\triangle BAF$ i $\triangle DEB$ moraju biti sukladni po $SKS$ poučku: $|AB| = |ED|$ po uvjetima zadatka, $|BF| = |BE|$ jer je $\triangle BEF$ jednakokračan, i $\angle ABF = \angle BED = 80^\circ$ .

$Attachment P33.png$

Zaključujemo da je $|\angle ADB| = 20^\circ$ , baš kako smo i slutili.

--------------------------------------------------------------------------------

Za rješenje nadopunite rečenicu: Prve dokaze poučaka o sličnosti i sukladnosti možemo pronaći u Euklidovom djelu ________ (nominativ) iz 300te godine prije Krista.

$Attachment Byrne.png$
Ovaj tekst smatra se najuspješnijim udžbenikom u povijesti i još je uvijek odličan način za učiti geometriju. Ukoliko uhvatite vremena, posudite je u knjižnici - iznenadit ćete se koliko je bezvremenska. Preporučujem ovo prekrasno izdanje iz 1847. koje je ilustrirao Oliver Byrne.

Za kraj ćemo zajedno riješiti geometriju koja se pojavila na prošlogodišnjem državnom natjecanju! \textbf{Zadatak:} Dan je jednakostranični trokut $ABC$. Dužina $AD$ siječe stranicu $BC$ u točki $E$, a pritom je \[ \angle BAD = 20^\circ \quad \text{i} \quad |DE| = |AB|. \] Odredi $\angle ADB$. \textbf{Rješenje:} Nacrtamo li lijepu skicu, primjećujemo nešto stvarno zanimljivo: trokut $\triangle ADB$ izgleda jednakokračan! Očekujemo odgovor $|\angle ADB| = 20^\circ$. \begin{center} \includegraphics[scale = 0.5]{P31.png}\\ \end{center} Kako to dokazati? Primijetimo još jednu zanimljivost. Ako smo stvarno u pravu, trokut $\triangle EDB$ bit će jednakokračan. Naime, $|\angle AEB| = 180^\circ - |\angle BAD| - |\angle ABE| = 180^\circ - 60^\circ - 20^\circ = 100^\circ$, stoga $|\angle BED| = 80^\circ$. Kad bi $|\angle ADB|$ stvarno bio $20^\circ$, $|\angle EBD|$ bi bio $80^\circ$ i imali bismo jednakokračnost. \\ Zato dobijamo ideju dodati točku $F$ na $AD$ tako da je $\triangle ABF$ jednakokračan. Ideja je koristeći jednakokračnost trokuta $\triangle ABF$ dobiti jednakokračnost trokuta $\triangle EDB$. Primijetimo trokut $\triangle BEF$: kako je $|\angle BFE| = |\angle BFA| = 80^\circ$, te $|\angle BED| = 80^\circ$, on je svakako jednakokračan. \begin{center} \includegraphics[scale = 0.5]{P32.png}\\ \end{center} No tada trokuti $\triangle BAF$ i $\triangle DEB$ moraju biti sukladni po $SKS$ poučku: $|AB| = |ED|$ po uvjetima zadatka, $|BF| = |BE|$ jer je $\triangle BEF$ jednakokračan, i $\angle ABF = \angle BED = 80^\circ$. \\ \begin{center} \includegraphics[scale = 0.5]{P33.png}\\ \end{center}\\ Zaključujemo da je $|\angle ADB| = 20^\circ$, baš kako smo i slutili. -------------------------------------------------------------------------------- Za rješenje nadopunite rečenicu: Prve dokaze poučaka o sličnosti i sukladnosti možemo pronaći u Euklidovom djelu ________ (nominativ) iz 300te godine prije Krista. \begin{center} \includegraphics[scale = 0.5]{Byrne.png}\\ \emph{Ovaj tekst smatra se najuspješnijim udžbenikom u povijesti i još je uvijek odličan način za učiti geometriju. Ukoliko uhvatite vremena, posudite je u knjižnici - iznenadit ćete se koliko je bezvremenska. Preporučujem ovo prekrasno izdanje iz 1847. koje je ilustrirao Oliver Byrne.} \end{center}