Za početak ćemo promatrati neke pojmove iz kombinatorike, a prva je princip ekstrema - metoda rješavanja zadataka (najčešće iz kombinatorike, ali može se primijeniti i u drugim područjima kao ovdje) u kojoj promatramo nekakav ekstrem, odnosno element ili situaciju koji su minimalni/maksimalni po nekom svojstvu.
Primjer. Odredi sva nenegativna realna rješenja sustava:
Rješenje. Primjetimo da je ovaj sustav jednadžbi cikličan, jer svakim pomakom (rotacijom) varijabli (
) dobivamo iste jednadžbe. U cikličnom sustavu bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti najveći ili najmanji element (ali ne oboje!) jer ako nismo uzeli najveći element samo rotiramo varijable dok se ne nalazi najveći na tom mjestu.
Pretpostavimo sada da je 
najveći element i gradimo neke nejednakosti. Sada imamo 
. Dakle, 
, odnosno 
. Ali pretpostavili smo da je najveći, pa mora vrijediti i 
. Dakle, vrijedi 
. Sada je 
, pa 
. Onda imamo 
. Zaključujemo 
. Uvrštavanjem toga u neku od početnih jednadžbi imamo 
, pa su rješenja 
i 
.
Kako biste dobili bod unesite 2 kao rješenje.
Za početak ćemo promatrati neke pojmove iz kombinatorike, a prva je princip ekstrema - metoda rješavanja zadataka (najčešće iz kombinatorike, ali može se primijeniti i u drugim područjima kao ovdje) u kojoj promatramo nekakav ekstrem, odnosno element ili situaciju koji su minimalni/maksimalni po nekom svojstvu.
\textit{Primjer.} Odredi sva nenegativna realna rješenja sustava:
\begin{center}
$a+b=c^2$\\ $b+c=d^2$\\
$c+d=a^2$\\ $d+a=b^2$
\end{center}
\textit{Rješenje.} Primjetimo da je ovaj sustav jednadžbi cikličan, jer svakim pomakom (rotacijom) varijabli ($(a, b, c, d) \rightarrow (b, c, d, a) \rightarrow (c, d, a, b) \rightarrow (d, a, b, c)$) dobivamo iste jednadžbe. U cikličnom sustavu bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti najveći ili najmanji element (\textbf{ali ne oboje!}) jer ako nismo uzeli najveći element samo rotiramo varijable dok se ne nalazi najveći na tom mjestu.
Pretpostavimo sada da je $a$ najveći element i gradimo neke nejednakosti. Sada imamo $a\geq b \implies a^2\geq b^2$. Dakle, $c+d\geq d+a$, odnosno $c\geq a$. Ali pretpostavili smo da je $a$ najveći, pa mora vrijediti i $a\geq c$. Dakle, vrijedi $c = a$. Sada je $c^2=a^2$, pa $a+b=c+d \implies a+b=a+d\implies b=d$. Onda imamo $b+c=d+c \implies d^2=a^2 \implies d=a$. Zaključujemo $a=b=c=d$. Uvrštavanjem toga u neku od početnih jednadžbi imamo $2a=a^2$, pa su rješenja $a=b=c=d=0$ i $a=b=c=d=2$.
Kako biste dobili bod unesite 2 kao rješenje.
