MetaMath '25 - Školjka

Vrijeme: 17:25

Nestandardna Algebra - Primjer 3

Primjer. Odredi sva rješenja jednadžbe $(x^2 - 3x + 3)^2 - 3(x^2 - 3x + 3) + 3 = x$

Rješenje. Primjetimo da je ovo jednadžba četvrtog stupnja i makar je ovdje zadatak namješten da budu lijepi brojevi rješenja, općenito ne bismo najbolje prošli s pogođanjem 4 nultočke. No, ako malo bolje gledamo strukturu jednadžbe uočit ćemo - ako bismo stavili $p(x)=x^2-3x+3$ zapravo dobivamo jednadžbu $p(p(x))=x$ što su fiksne točke odnosno invarijantne točke od funkcije $p(p(x))$ .

Dalje slijedi jedan mali trik koji ima veze s invarijatnošću te točke. Koja je tu invarijanta zapravo?

Promotrimo jednakost $p(x)=x$ . Svi $x$ za koje ovo vrijedi su fiksne točke od $p$ . A sada ako primijenimo $p$ na lijevu i desnu stranu jednažbe dobivamo $p(p(x))=p(x)=x$ jer je $x$ bila fiksna točka od $p$ . Dakle, ako je $x$ fiksna točka od $p$ ona je i fiksna točka od $p\circ p(x)=p(p(x))$ . Pa prvo rješavamo jednadžbu $\begin{align*} x^2-3x+3=x\\ x^2-4x+3=0\\ x_{1,2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1} \end{align*}$ pa su fiksne točke od $p$ $x=1$ i $x=3$ te su nam to dva rješenja od početne jednadžbe.

Sada slažemo jednadžbu 4. stupnja tako da kvadriramo i raspišemo početni izraz koji, nakon puno računanja, ispadne $x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 10x + 3 = 0$

Sada s obzirom da znamo da su $1,3$ rješenja možemo podijeliti polinom $x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 10x + 3$ s $x-1$ i s $x-3$ pomoću dobrog starog dijeljenja polinoma ili jednog kompaktnijeg zapisa

Jednadžbe postane $(x-1)(x-3)(x^2-2x+1)=0$ odnosno $(x-1)^3(x-3)=0$ . Iz ovoga vidimo da je $x=1$ trostruko rješenje pa su sva rješenja $x=1$ i $x=3$ .

Kako biste dobili bod upišite 3 kao rješenje.

Dalje nam slijedi još jedna više kombinatorna tema, invarijante i monovarijante. Invarijanta je ono što se ne mijenja nakon nekakve transformacije. To može biti neki broj, nekakvo stanje, ostatak pri dijeljenju s nekim brojem i još mnoge druge stvari, a monovarijanta je veličina koja se stalno povećava ili se stalno smanjuje. Najčešće je korisno provjeriti zbroj i umnožak stanja za invarijantu, ali (spoiler) ovdje ćemo imati malo neoobičnu invarijantu. \textit{Primjer.} Odredi sva rješenja jednadžbe $(x^2 - 3x + 3)^2 - 3(x^2 - 3x + 3) + 3 = x$ \textit{Rješenje.} Primjetimo da je ovo jednadžba četvrtog stupnja i makar je ovdje zadatak namješten da budu lijepi brojevi rješenja, općenito ne bismo najbolje prošli s pogođanjem 4 nultočke. No, ako malo bolje gledamo strukturu jednadžbe uočit ćemo - ako bismo stavili $p(x)=x^2-3x+3$ zapravo dobivamo jednadžbu $p(p(x))=x$ što su fiksne točke odnosno invarijantne točke od funkcije $p(p(x))$. Dalje slijedi jedan mali trik koji ima veze s invarijatnošću te točke. Koja je tu invarijanta zapravo? Promotrimo jednakost $p(x)=x$. Svi $x$ za koje ovo vrijedi su fiksne točke od $p$. A sada ako primijenimo $p$ na lijevu i desnu stranu jednažbe dobivamo $p(p(x))=p(x)=x$ jer je $x$ bila fiksna točka od $p$. Dakle, ako je $x$ fiksna točka od $p$ ona je i fiksna točka od $p\circ p(x)=p(p(x))$. Pa prvo rješavamo jednadžbu \begin{align*} x^2-3x+3=x\\ x^2-4x+3=0\\ x_{1,2}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1} \end{align*} pa su fiksne točke od $p$ $x=1$ i $x=3$ te su nam to dva rješenja od početne jednadžbe. Sada slažemo jednadžbu 4. stupnja tako da kvadriramo i raspišemo početni izraz koji, nakon puno računanja, ispadne $x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 10x + 3 = 0$ Sada s obzirom da znamo da su $1,3$ rješenja možemo podijeliti polinom $x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 10x + 3$ s $x-1$ i s $x-3$ pomoću \href{https://www.youtube.com/watch?v=_FSXJmESFmQ}{dobrog starog dijeljenja polinoma} ili \href{https://www.youtube.com/watch?v=FxHWoUOq2iQ}{jednog kompaktnijeg zapisa} Jednadžbe postane $(x-1)(x-3)(x^2-2x+1)=0$ odnosno $(x-1)^3(x-3)=0$. Iz ovoga vidimo da je $x=1$ trostruko rješenje pa su sva rješenja $x=1$ i $x=3$. Kako biste dobili bod upišite 3 kao rješenje.