MetaMath '25

I za kraj nešto iz polinoma \textit{Primjer.} Postoji li polinom $P(x)$ s realnim koeficijentima takav da je $$P\left( \frac{1}{k} \right) = \frac{1}{2k+1},$$ za sve prirodne brojeve $k$? \textit{Rješenje.} U ovom obliku nam ne izgleda baš korisno ovaj izraz, mogli bismo ga pokušati namjestiti da imamo samo $\frac{1}{k}$-ove umjesto $k$-ova u izrazu (ili napraviti zamjenu $k$ i $\frac{1}{k}$ u izrazu) ali ne budemo dobili ništa korisnije. $$P\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{\frac{1}{k}}{2+\frac{1}{k}}$$ Ali ovo je polinom, pa bismo trebali znati dosta o njemu i iz ovakvog izraza. Trik je složiti novi polinom iz ovog uz malo algebre. Uočimo da je gornji izraz ekvivalentan s $$\left(2+\frac{1}{k}\right)P\left(\frac{1}{k}\right)-\frac{1}{k}=0$$ Odnosno ako promatramo polinom $Q(x)=(2+x)P(x)-x$ vidimo da je $Q(\frac{1}{k})=0$. Sada, koliko brojeva oblika $\frac{1}{k}$ ima? Pa .. puno, previše čak da bi ovo imalo smisla za većinu polinoma. Znamo da polinom ima nultočaka najviše koliko i stupanj polinoma, a brojeva oblika $\frac{1}{k}$ za prirodan $k$ ima beskonačno. Jedini način da ovo vrijedi je da je $Q(x)=0$ za sve $x$, no lako vidimo da je $Q(-2)\neq0$ pa takvog polinoma nema. Kako biste dobili bod, upišite 4 kao rješenje.